Устойчивость по виду корней характеристического уравнения

Как следует из рис. 12-14,  не равен тождественно нулю, тогда из (48) следует

                                       .                                                                            (51)

Уравнение (51) называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнениям (44) и (48). Если это уравнение n-го порядка, тогда оно имеет n корней . Если коэффициенты  – действительные, то корни уравнения (51) могут быть действительными и комплексно-сопряженными.

               .

Корни могут быть простыми (нет им равных) и кратными (равными). Кратность – это количество равных корней. Если корни простые, то решение уравнения (51) можно представить в виде

                     ,                                                          (52)

где  – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

В выражении (52) каждое слагаемое называется модой. Рассмотрим две моды, соответствующие паре комплексно-сопряженных корней.

                      .                                                           (53)

С помощью формулы Эйлера уравнение (53) можно представить в виде

                    ,                                                         (54)

где  – новые постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. На рис. 15 представлены различные виды переходных процессов моды (54) в зависимости от вида корней, соответствующих данной моде.

На основании рис. 15 можно констатировать следующее.

Для того чтобы система была  устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными.

 

 

Рис. 15.

 

Для того чтобы система была неустойчивой, достаточно, чтобы хотя бы у одного корня действительная часть была положительной.

Для того чтобы система находилась на границе устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы у части корней действительные части были равны нулю, причём среди этих корней не должно быть кратных, а у остальных корней действительные части должны быть отрицательными.

При наличии кратных корней (например, ) вместо выражения (52) будет выражение (55).

        .                                             (55)

Выражение (55) позволяет заключить, что при мнимом корне  нулевое решение будет неустойчивым за счет выражения в скобках.

Сформулируем приведенные критерии в геометрическом виде. На рис. 16 изображена плоскость корней, где крестиками обозначено расположение корней. С помощью этого рисунка приведенные критерии можно перефразировать следующим образом.

 

Рис. 16. Расположение корней характеристического уравнения в устойчивой САУ.

 

Для того чтобы система была устойчивой , необходимо и достаточно , чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Для того чтобы система была неустойчивой, достаточно, чтобы хотя бы один корень находился в правой полуплоскости.

Для того чтобы система находилась на границе устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы часть корней находилась на мнимой оси, причём среди этих корней не должно быть совпадающих, а остальные корни должны лежать в левой полуплоскости.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: