Алгебраические критерии устойчивости

Устойчивость или неустойчивость системы зависит от корней характеристического уравнения, в свою очередь, корни зависят от коэффициентов характеристического уравнения, поэтому были найдены критерии устойчивости без расчёта корней, рассматривая непосредственно коэффициенты характеристического уравнения.

 

Необходимое, но не достаточное условие устойчивости

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, но не достаточно чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были одного знака и отличались от нуля.

Пример. Дано уравнение

                    .

Это дифференциальное уравнение допускает частное стационарное решение

                               .

Задача: будет ли частное (вынужденное) решение устойчивым?

Ответ: решение не будет устойчиво, т.к. один коэффициент характеристического уравнения равен нулю.

 

Критерий устойчивости Гурвица

Пусть дано характеристическое уравнение

            .                                                 (56)

Составим для него определитель Гурвица размера (n х n)

          .                                               (57)

Следует обратить внимание на то, что в первой строке расположены коэффициенты с нечетными индексами, во второй – с четными, а на главной диагонали расположены коэффициенты .

В соответствии с критерием устойчивости Гурвица главные диагональные миноры должны быть положительными, то есть

                                                 (58)

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при  все главные диагональные миноры (58) определителя Гурвица (57) были положительны.

Из соотношений следует .

Для систем первого и второго порядков критерий Рауса-Гурвица сводится к условиям критерия о необходимых условиях устойчивости, т.е. для этих систем необходимым и достаточным условием устойчивости является однознаковость всех коэффициентов характеристического уравнения; если имеются коэффициенты с противоположными знаками или нулевые, то система будет неустойчивая.

Рассмотрим критерий Гурвица для системы третьего порядка с характеристическим уравнением

                  .

Определитель Гурвица и условия устойчивости по критерию Гурвица имеют вид

Частотные критерии устойчивости

Критерий Михайлова

Для его применения необходимо иметь характеристический полином

            .                                                 (59)

Подставим в уравнение (59) вместо , где ;  – частота, которая меняется в диапазоне от 0 до ∞. В результате получим комплексный полином

                           ,                                                                (60)

где  – действительная часть, а  –мнимая часть характеристического полинома.

           ,                                                (61)

         ,

или

       .                                            (62)

Критерий Михайлова является графическим критерием. Для его применения на комплексной плоскости строится кривая Михайлова. На рис. 17 показаны кривые Михайлова для систем различных порядков n, соответствующие устойчивым системам.

Для того чтобы система n -ого порядка была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно против часовой стрелки n четвертей при изменении частоты  от 0 до ∞.

Если кривая Михайлова будет проходить через начало координат, то система будет находиться на границе устойчивости (рис. 18).

 

 

Рис. 17. Кривые Михайлова для устойчивых систем различных порядков.

 

Рис. 18. Система на границе устойчивости.

Рис. 19. Неустойчивая система.

 

Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы. Для применения этого критерия система приводится к виду с единичной обратной связью, показанному на схеме 11.

Схема 11

 

На схеме 11  – задающее воздействие, равное желаемому значению выходной переменной ;  – ошибка системы;  – передаточная функция разомкнутой системы, представленная в виде

          .                                               (63)

При таком представлении передаточной функции  – коэффициент передачи разомкнутой цепи,  – степень астатизма.

При  система называется статической, при  система называется астатической первого, второго, … порядков.

Для реальных систем имеет место соотношение

                                       .                                                                            (64)

Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид

                             .                                                                  (65)

Для получения характеристического уравнения надо знаменатель приравнять нулю, то есть

                                    .                                                                         (66)

Подставим в уравнение (66) , где, как и ранее, ,  – частота. Получим

                                     .                                                                         (67)

Значение , при котором выполняется условие (67), является корнем характеристического уравнения (66), т.е. , что соответствует границе устойчивости. Но  является частотной передаточной функцией разомкнутой системы.

Таким образом, если АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ будет проходить через точку (-1; j0), то система будет находиться на границе устойчивости.

Будем рассматривать две ситуации:

а) система в разомкнутом состоянии устойчива;

б) система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Случай а):

Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до бесконечности АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1; j0).

Если АФЧХ будет проходить через эту точку, то замкнутая САУ будет находиться на границе устойчивости.

Если АФЧХ будет охватывать точку (-1; j0), то замкнутая САУ будет неустойчивой.

АФЧХ для статической разомкнутой системы ( ) представлены на рис. 20, а для астатической системы ( ) – на рис. 21.

Рис. 20.

Рис. 21.

 

На рисунках 20, 21:  частотная передаточная функция разомкнутой системы, 1 – замкнутая САУ устойчива, 2 – замкнутая САУ на границе устойчивости, 3 – замкнутая САУ неустойчива.

Случай б): система в разомкнутом состоянии неустойчива. Тогда критерий Найквиста формулируется так:

Для того чтобы система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до бесконечности АФЧХ разомкнутой системы пересекала отрицательную действительную полуось левее точки с координатами (-1; j0) сверху вниз на k раз больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: