Устойчивость нелинейных систем.

У линейных систем устойчивость и качество переходных процессов не зависят ни от величины внешних воздействий, ни от начальных условий. В нелинейных системах процесс гораздо сложнее. В зависимости от начальных условий система может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой. На рис. 36а между начальными условиями ,  существует начальное условие , при котором процесс гранично устойчив. На рис. 36б представлены фазовые траектории для процессов, показанных на рис. 36а.

Возможен и другой случай, представленный на рис. 37а, когда при больших начальных условиях колебания уменьшаются, а при малых – система неустойчива (колебания возрастают). На рис. 37б изображены фазовые траектории для процессов, показанных на рис. 37а. Процессы 2 и 3 стремятся к предельному циклу 1.

На рисунках 36б и 37б между траекториями 2 и 3 существуют замкнутые траектории 1, которые называются предельными циклами.

Предельные циклы могут быть устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми. Если все фазовые траектории приближаются к предельному циклу как изнутри, так и снаружи, то такой предельный цикл называется устойчивым (рис. 37б). В этом случае в системе возникают автоколебания.

Если все фазовые траектории отходят от предельного цикла как снаружи, так и изнутри его, то такой предельный цикл называется неустойчивым (рис. 36б).

 

 

                                       а)

 

 

                                                                                                                   б)

Рис. 36. Переходные процессы и фазовые траектории нелинейной системы, устойчивой в малом, но неустойчивой в большом.

 

 

 

 

                                       а)                                                              б)

Рис. 37. Переходные процессы и фазовые траектории нелинейной системы, неустойчивой в малом, но устойчивой в большом.

 

Если фазовые траектории с одной стороны отходят от предельного цикла, а с другой стороны подходят к нему, то такой предельный цикл называется полуустойчивым. Колебания в системе, соответствующие устойчивому предельному циклу, называются автоколебаниями.

Следует обратить внимание на то, что автоколебания поддерживаются самой системой, даже без внешних воздействий.

В нелинейных системах различают устойчивость в малом, в большом и в целом (глобальная устойчивость).

Если происходит затухание колебаний в переходном процессе при бесконечно малых отклонениях от начала координат, то наблюдается устойчивость в малом.

Если затухание колебаний в переходном процессе происходит при конечных отклонениях от начала координат, то наблюдается устойчивость в большом.

Если затухание колебаний в переходном процессе происходит при любых начальных отклонениях, то нелинейная система является устойчивой в целом.

Устойчивая линейная система всегда является устойчивой в целом или глобально устойчивой.

Практической устойчивостью нелинейной системы называется такая ситуация, когда она является неустойчивой в малом, но устойчивой в большом или устойчивой в малом и большом, но неустойчивой в целом. При этом внешний предельный цикл, содержащий начало координат, является устойчивым по отношению к наружным траекториям, причём величина этого предельного цикла позволяет системе успешно функционировать.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: