Идея гармонической линеаризации

Рассматривается система

 

 

Схема 17. Структурная схема нелинейной системы

 

На схеме 17  – статическая характеристика нелинейной части системы,  – передаточная функция линейной части системы.

В режиме предельных циклов все переменные  являются периодическими функциями времени с постоянными амплитудами и частотами.

Предположим, что

                          .                                                                   (116)

Данный метод базируется на предположении, что на входе нелинейного звена в режиме предельного цикла имеет место синусоидальный сигнал с амплитудой  и частотой . При прохождении через нелинейное звено (рис. 41) синусоидальный сигнал деформируется. На рисунке 41б прямоугольная синусоида 1 – выходной сигнал. Этот сигнал можно разложить в ряд Фурье. На рисунке 41б синусоиды 2 и 3 соответствуют первым двум гармоникам разложения в ряд Фурье.

Поэтому, чтобы исходная предпосылка (116) выполнялась, линейное звено должно выполнять роль фильтра низких частот, т.е. фильтровать все гармоники за исключением самой низкочастотной гармоники (гармоники основной частоты). Фильтрующие свойства звена определяются его АЧХ. На рис. 42 показан случай выполнения условия применимости метода гармонической линеаризации.

 

 

Рис. 41. Прохождение синусоидального сигнала через нелинейное звено

 

 

Рис. 42. АЧХ линейной части системы.

 

Для определения, является ли линейная часть системы фильтром низких частот, нужно знать частоты гармоник сигнала , разложенного в ряд Фурье. Но это в начале исследования не известно. Поэтому предполагается, что линейная часть системы является фильтром низких частот.

При этом сигнал на выходе нелинейного звена предполагается разложенным в ряд Фурье

         ,                                                   (117)

где  – коэффициенты разложения в ряд Фурье.

В выражении (117) отбросим высшие гармоники. Из выражения (116) можем записать

                   ,                                                             (118)

из выражений (116) и (118) найдём

            ,                                                      (119)

подставим (119) в (117). Получим

                      ,                                                               (120)

где

                  .                                                            (121)

Выражение (120) можно представить в виде

      , .                                                (122)

Выражение (122) связывает сигнал  с сигналом  точно так же, как и функция . Но выражение (122) является линейным, то есть выражение (122) является линейной аппроксимацией функции . Поэтому вместо схемы 17 можно рассматривать схему 18.

 

 

Схема 18. Эквивалентная нелинейной линейная система

 

Представленная система является полностью линейной. Таким образом, осуществляется гармоническая линеаризация. Коэффициенты  и  называются коэффициентами гармонической линеаризации. Эти коэффициенты определяются нелинейностью  и значениями коэффициентов  разложения в ряд Фурье, которые, в свою очередь, зависят от амплитуды .

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: