Решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение линейных САУ.

Цель занятия: научиться находить решение дифференциальных уравнений линейных автоматических систем методом прямого интегрирования и с помощью применения преобразования Лапласа.

Автоматические системы, в которых существуют силы сопротивления приходят к своему установившемуся движению не сразу, а через некоторый промежуток времени после начала движения. Процесс прихода системы к установившемуся движению называется переходным процессом. Построение переходного процесса рассмотрим на конкретном примере. Остановимся на двух методах:

a) классический метод решения линейных дифференциальных уравнений.

b) метод операционного исчисления, в основе которого лежит преобразование Лапласа.

Причем, второй метод дает возможность сводить решения дифференциальных уравнений к решению алгебраических уравнений. При этом отпадает необходимость вычисления произвольных постоянных при интегрировании, а начальные условия учитываются автоматически.

 

Пример решения задачи

 

Определить уравнение движения одномассовой механической системы с I степенью свободы при наличии демпфирования. Учесть, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости.

Известно: m - масса груза; с - жесткость пружины; - коэффициент сопротивления.

 

Решение

 

Составим дифференциальное уравнение движения системы. 

, введем обозначения  и получим уравнение

                                         (1)

 

a) рассмотрим первый метод решения уравнения (1).

Составим характеристическое уравнение

Определим его корни

             ; предположим k > n

     ; где

По этим корням находим решение дифференциального уравнения (1)

                                        (2)

или в амплитудной форме

                                           (3)

Чтобы определить постоянные интегрирования и , подставим начальные условия ; ;  в уравнение движения и уравнение скорости.

Получим :                                               

                         

Искомая функция будет иметь вид

b) рассмотрим второй метод решения уравнения (1)

Запишем функцию x(t) и её производные в изображениях по Лапласу.

 

Подставим это в дифференциальное уравнение (1)

(4)

Чтобы воспользоваться таблицей изображений и перейти к оригиналам, преобразуем слагаемые, стоящие в формуле (4)

Искомый оригинал x(t) имеет вид

Задачи для самостоятельной работы

 

1. Следящая автоматическая система описывается уравнением

Постоянная времени T=0,005 с, коэффициент усиления . Найти закон изменения выходной величины x(t) при отработке системой рассогласования x₀ при отсутствии задающего воздействия и нулевой начальной скорости

Ответ:

2. Передаточная функция разомкнутой системы равна

Найти уравнение движения замкнутой системы, если на ее вход подано единичное ступенчатое воздействие и начальные условия нулевые.

Ответ:

3. Передаточная функция разомкнутой системы равна

Найти закон движения замкнутой системы при отсутствии задающего воздействия и при начальных условиях

Ответ:

4. Найти выходную величину звена с передаточной функцией

 ,

если на его вход подан линейно изменяющийся сигнал g(t)=t и начальные условия нулевые. Построить график.

Ответ:

5. Для замкнутой следящей системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии равна

,

найти выходную величину x(t) при линейном задающем воздействии g(t)=at и нулевых начальных условиях.

Ответ:

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: