Интегрирование рациональных дробей

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена ; в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II. , где – целое число, большее единицы;

III. , где , т. е. квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

IV. , где – целое число, большее единицы и квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

Во всех четырёх случаях предполагается, что – действительные числа.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

I. ;

II. ;

III. Выделяем полный квадрат в знаменателе и делаем соответствующую подстановку:

(здесь ).

IV. Аналогично,

Здесь , а интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы

позволяющей после - кратного применения свести данный интеграл к табличному .

В общем случае, перед интегрированием рациональной дроби надо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т. е. представить в виде

где – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где , т. е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

;

4) вычислить неопределённые коэффициенты , , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Примеры решения задач

1. Найти интеграл .

Решение:

Квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней, поэтому данная дробь – простейшая третьего типа.

2. Найти интеграл .

Решение.

Квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней, поэтому данная дробь – простейшая четвёртого типа.

Интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы при , :

Возвращаясь к переменной , находим окончательно:

3. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Подынтегральная дробь – правильная. Разложив на множители знаменатель, представим её в виде суммы простейших дробей 1-го типа:

Приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателю, откуда

т. е.

. (1)

Из полученного равенства можно найти коэффициенты и двумя способами: с помощью метода сравнивания коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.

1. Метод сравнивания коэффициентов. Раскроем скобки в правой части равенства (1) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Так как многочлены в обеих частях полученного равенства тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной . Сравнивая коэффициенты, получаем систему двух уравнений:

Решая эту систему, найдём: .

2. Метод частных значений. Придадим неизвестной в равенстве (1) частное значение . Тогда получим

откуда . Подставляя теперь в уравнение (1) значение (удобнее всего подставлять значения, совпадающие с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим: .

Таким образом,

и, значит,

б) Подынтегральная дробь – правильная, однако, её знаменатель не до конца разложен на множители. Поэтому сначала преобразуем знаменатель:

Разложим теперь дробь на простейшие:

Приводя к общему знаменателю и избавляясь затем от знаменателей, приходим к равенству:

Для вычисления неизвестных коэффициентов , и воспользуемся методом частных значений. Положим , тогда . Полагая , находим .

Осталось найти коэффициент . Поскольку «удобных» частных значений уже не осталось, придадим какое-нибудь значение, приводящее к не очень громоздким вычислениям. Проще всего положить . Тогда , откуда, с учётом найденных значений и , получим: .