Производная сложной и неявно заданной функции нескольких

Переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть , где , , причём функции , , дифференцируемы. Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле

. (1)

Если , где , то полная производная от по находится по формуле

. (2)

Если же , где , , то частные производные выражаются так:

и . (3)

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных и , может быть вычислена по формуле

при условии .

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных , и , могут быть вычислены по формулам и при условии .

Если поверхность задана уравнением и в точке частные производные , , конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке записывается в виде

а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде

Если же уравнение поверхности задано явным образом: и в точке частные производные , конечны (и могут быть равны нулю одновременно), то уравнение касательной плоскости в точке записывается в виде

а уравнение нормали – в виде

Равенство нулю, например , означает, что касательная плоскость параллельна оси , а нормаль лежит в плоскости .

Примеры решения задач

1. Найти , если

а) , и , ;

б) , где , .

Решение.

а) Здесь , , , . Тогда по формуле (1) находим:

б) В этом примере подстановка и в упрощает функцию : . Очевидно, .

2. Найти и для функции , где .

Решение.

Имеем: . Используя формулу полной производной (2), находим: .

3. Найти и , если , , .

Решение.

Используем формулы (3), учитывая, что здесь независимыми являются переменные и :

;

4. Найти производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение.

Здесь . Имеем:

, .

Следовательно, .

5. Найти производные и неявной функции, заданной уравнением .

Решение.

Здесь . Имеем: , , откуда .

Найдём вторую производную: .

6. Найти производные и неявной функции, заданной уравнением .

Решение.

Здесь . Находим: , , . Тогда

; .

7. Найти дифференциал неявной функции, заданной уравнением .

Решение.

Здесь . Как известно, , поэтому найдём сначала и :

; .

Следовательно, .

8. Дана поверхность . Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .

Решение.

Найдём частные производные и , и их значения в точке : , . Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид: или .

Уравнение нормали: .

9. К поверхности провести касательные плоскости, параллельные плоскости .

Решение.

Здесь . Найдём частные производные: , , . Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости следует, что , или . Присоединив к этим уравнениям уравнение поверхности , найдём координаты точек касания: и . Следовательно, уравнения касательных плоскостей имеют вид: