Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

1. Интегралы типа , где – рациональная функция, – действительные числа, – натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной дроби путём подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей .

2. Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью следующих тригонометрических подстановок: для первого интеграла, для второго интеграла, для третьего интеграла.

3. Интегралы типа можно найти, если выделить под корнем полный квадрат:

и сделать подстановку . При этом интегралы приводятся к рассмотренным в п. 2.

4. Интегралы от дифференциальных биномов , где – действительные, а – рациональные числа выражаются через элементарные функции только в трёх случаях:

1) – целое число; данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей и ;

2) – целое число; интеграл рационализируется с помощью подстановки , где – знаменатель дроби ;

3) – целое число; подстановка , где – знаменатель дроби .

Примеры решения задач

1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

Это интегралы типа 1.

а) В этом случае . Сделаем подстановку (6– наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Тогда

б) В этом случае . Сделаем подстановку (6– наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Тогда

в) В этом случае . Сделаем подстановку . Отсюда и, значит,

Тогда

2. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 2. Применим подстановку . Тогда

Здесь в последнем равенстве использована формула:

3. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 3. Выделим полный квадрат в знаменателе:

и сделаем подстановку . Тогда

4. Найти интеграл .

Решение.

Представим данный интеграл в виде .

Теперь видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином вида 4, при этом . Так как в данном случае – целое число, то следует применить подстановку 2), т. е. . Следовательно, , и, значит, . Таким образом,

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ. .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ:

13. Ответ: .

14. Ответ:

15. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6

Определённый интеграл

Основные свойства определённого интеграла:

4. .

5. , где – постоянная.

6. Оценка определённого интеграла: если на , то

Правила вычисления определённых интегралов:

1. Формула Ньютона-Лейбница:

где – первообразная для , т. е. .

2. Интегрирование по частям:

где , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной:

где – функция, непрерывная на , – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , .

4. Если – нечётная функция, т. е. , то

Если – чётная функция, т. е. , то

Примеры решения задач

1. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Подынтегральная функция на отрезке имеет первообразную . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

б) Выделяя полный квадрат в знаменателе под корнем, находим:

2. Оценить интеграл .

Решение.

Поскольку , имеем:

и .

3. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

Вычислим эти интегралы с помощью замены переменной.

а) Применим подстановку . Находим новые пределы интегрирования:

	1	9
	1	3

Тогда

б)

в)

4. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение.

Эти интегралы вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям.

а)

б)

5. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение.

Это интегралы в симметричных пределах. Значит, нужно проверить подынтегральные функции на предмет чётности-нечётности.

а) Подынтегральная функция – нечётная, значит,

б) В данном случае подынтегральная функция не является ни чётной, ни нечётной, но её можно представить в виде суммы таких функций:

Тогда

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

13. Ответ: .

14. Ответ: .

15. Ответ: .

16. Ответ: .

17. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7

Несобственные интегралы

Несобственными называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Несобственные интегралы 1-го рода определяются следующим образом:

; ;

где – произвольное число.

Эти интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то соответствующие интегралы называются расходящимися.

Несобственные интегралы 2-го рода определяются следующим образом:

, если функция имеет бесконечный разрыв при ;

, если функция имеет бесконечный разрыв в точке , .

Критерии сходимости формулируются для интегралов вида ; для других несобственных интегралов справедливы аналогичные утверждения.

1. Если на промежутке функции и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости – расходимость .

2. Если функции и неотрицательны и существует предел , , то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.

В качестве функции сравнения в случае особенно удобно использовать функцию ( ), а в случае интеграла от неограниченной в окрестности точки функции – функцию . Можно показать (см. лекции!), что интеграл сходится при и расходится при , а интеграл (как и интеграл ) сходится при и расходится при .

Примеры решения задач

1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) .

Решение.

а)

Такой предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.

б) ,

т. е. несобственный интеграл сходится и его значение равно 1.

в) Подынтегральная функция – чётная, поэтому

то есть интеграл сходится и его значение равно .

2. Исследовать на сходимость интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Здесь при , при этом . Но интеграл расходится ( ). Поэтому, согласно признаку сравнения 1, интеграл расходится.

б) Здесь при . Рассмотрим функцию , интеграл от которой сходится ( ). А так как существует предел , то интеграл также сходится (признак сравнения 2).

3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Подынтегральная функция в точке неограниченна, поэтому

т. е. несобственный интеграл расходится.

б) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому

т. е. интеграл сходится и его значение равно .

в) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому

т. е. интеграл сходится.

4. Исследовать на сходимость интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Подынтегральная функция при и неограниченна в точке , при этом . Но интеграл сходится ( ). Поэтому, согласно признаку сравнения 1, интеграл также сходится.