Линейные уравнения первого порядка,

Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

.

 

Если правая часть уравнения равна нулю, то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Рассмотрим два метода интегрирования данного уравнения.

Метод вариации постоянной. Находим общее решение  однородного уравнения . Затем предполагаем, что  является функцией от переменной , и ищем решение неоднородного уравнения в виде . Подставив его в неоднородное уравнение, после некоторых преобразований, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными на неизвестную функцию : . Его решением является , где – произвольное постоянное число. Общее решение линейного уравнения запишется в виде

 

.

 

Метод подстановки (метод Бернулли). Общее решение неоднородного линейного уравнения ищем в виде , тогда . Подставив  в уравнение, получим , или . Далее, пусть функция  удовлетворяет уравнению , тогда . Находим любое частное решение уравнения , например, . Тогда общим решением уравнения  будет , где – произвольное постоянное число. Общее решение линейного уравнения имеет вид:

 

.

 

Уравнение вида

,

называется уравнением Бернулли. Если обе его части разделить на функцию  и сделать замену , то получим линейное уравнение на неизвестную функцию . Также уравнение Бернулли можно решать методом подстановки.

Уравнение

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то есть это уравнение можно переписать в виде . Отсюда общий интеграл будет . Для того чтобы уравнение  было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия . Общий интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид 

,

где , область определения функций .

Рассмотрим еще один способ нахождения общего решения уравнения в полных дифференциалах. Так как с одной стороны , а с другой стороны , то отсюда следует, что функция  удовлетворяет условиям: , .         

 

Примеры решения задач

 

1. Найти частное решение дифференциального уравнения 

 

, .

 

Решение. Будем решать уравнение методом вариации постоянной. Для этого составим соответствующее однородное уравнение

 

 

и найдем его решение . Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде . Вычислив  и подставив в заданное неоднородное уравнение, получим дифференциальное уравнение , решением которого является функция , где – произвольное постоянное число. Следовательно, общее решение имеет вид . Используя начальное условие , найдем , отсюда частным решением будет .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Переписав уравнение в виде , заметим, что оно является линейным. Решим его с помощью метода подстановки, то есть ищем решение в виде . Подставив  и   в исходное уравнение, получим . Преобразуем последнее уравнение к виду . Найдем функцию  из условия  

,

 

тогда уравнение на функцию  будет следующим:

 

.

 

Решив первое из двух последних уравнений, получим одно из частных решений . Подставив найденную функцию  в последнее уравнение и проинтегрировав его, получим . Следовательно, общим решением заданного уравнения будет .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно функции , но, переписав его в виде , или

 

,

 

видим, что оно является линейным относительно функции . Решим полученное уравнение методом вариации постоянной. Составим соответствующее однородное уравнение , разделим переменные , проинтегрируем , отсюда получим . Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде

 

.

 

Напомним, что переменной является . Подставив последнее равенство в неоднородное уравнение, после преобразований получим уравнение на неизвестную функцию : . Его решением является , где – произвольное постоянное число. Таким образом, получим ответ: .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Это уравнение Бернулли. Разделим обе части уравнения на функцию : . Введем замену , следовательно, . Тогда уравнение перепишется в виде линейного уравнения

 

.

 

Его решением будет . Отсюда

 

,

 

или общий интеграл заданного уравнения имеет вид

 

.

 

Отметим, что заданное уравнение Бернулли можно также решить с помощью метода подстановки.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Это уравнение Бернулли. Решим его методом подстановки. Сделав замену , , получим , или

 

.

 

Рассмотрим два уравнения: . Интегрируем первое из них: 

.

 

Подставляем найденную функцию во второе уравнение:

 

.

 

Разделяем переменные и интегрируем (в одном из интегралов используем метод интегрирования по частям):

 

,

 

отсюда . Тогда общее решение уравнения запишется в виде .

Используем начальное условие : , следовательно, . Таким образом, частным решением уравнения будет .

6. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

 

 и .

 

Приведем уравнение к виду . Для этого перепишем заданное уравнение в виде , отсюда нетрудно заметить, что .

Тогда уравнение примет вид:

 

,

 

следовательно, общим интегралом исходного уравнения является

 

.

 

7. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

 

 и .

 

Воспользуемся формулой . Пусть  и , так как данная точка входит в область определения функций .

Интегрируем (отметим, что при интегрировании по переменной x вторая переменная y считается постоянной):

 

 

.

 

Итак, общим интегралом заданного уравнения является

 

.

 

8. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

 

 и ,

 

Составим систему , :

 

 

, .

 

Проинтегрировав первое уравнение по переменной x (при этом переменную y считаем постоянным числом), получим

 

.

 

Подставив найденную функцию во второе уравнение, найдем

 

,

 

отсюда , следовательно, .

Общим интегралом исходного уравнения будет , то есть

 

.

 

 Задачи для самостоятельного решения

1. , .       Ответ: .

2. .        Ответ: .

3. .                    Ответ: .

4. tg , .            Ответ: e^-tgx +tg .

5. .                               Ответ: .

6. .                                    Ответ: .

7. .                                 Ответ: .

8. .                    Ответ: .

9. .                 Ответ: .

10. , .               Ответ: .

11. . Ответ: .

12. .                      Ответ: .

13. . Ответ: .

14. .       Ответ: .

15. .              Ответ: .

16. . Ответ: .

17. .             Ответ: .

18. .  Ответ: .

19. , .        Ответ: .   

20. .              Ответ: .

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 14

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: