Частные производные первого и высшего порядков.

Дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной от функции  по независимой переменной  называется конечный предел

 

,

 

вычисленный при постоянном .

Частной производной от функции  по независимой переменной  называется конечный предел

 

,

 

вычисленный при постоянном .

Для частных производных справедливы обычные формулы и правила дифференцирования.

Частными производными второго порядка от функции  называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

 

;  ;

 

;  .

 

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

 

;  и т. д.

 

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например, .

Полный дифференциал функции  вычисляется по формуле

 

.

 

При достаточно малых  и  для дифференцируемой функции  справедливы приближённые равенства

 

и ,

 

где – приращение функции, а дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е.  и .

Аналогично определяется полный дифференциал функции трёх и более аргументов, например, для функции

 

.

 

Дифференциалом второго порядка от функции  называется дифференциал от её полного дифференциала, т. е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: , …, .

Если  и  – независимые переменные и функция  имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

 

;

 

.

 

Вообще, имеет место формула

 

,

 

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

 

Примеры решения задач

 

1. Найти частные производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Рассматривая  как постоянную величину, получим: . Рассматривая  как постоянную, найдём: .

 

б) ;

 

.

 

в) ;  .

 

2. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

Решение.

Находим

 

; .

 

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

 

 

.

 

Получаем тождество, т. е. функция  удовлетворяет данному уравнению.

 

3. Найти полный дифференциал функции: а) ; б) .

Решение.

а) Найдём частные производные:

 

, .

 

Следовательно, .

 

б) Имеем , где

 

; ; .

 

Следовательно,

 

.

 

4. Вычислить приближённо , исходя из значения функции  при , .

Решение.

Значение функции  при ,  есть . Найдём приращение функции  при , :

 

 

.

 

Следовательно, .

5. Для функции  найти все частные производные второго порядка.

Решение.

Найдём частные производные первого порядка: , .

Дифференцируя повторно, получим:

 

; ;

 

.

 

6. Найти  для функции .

Решение.

; ;

 

; ; ;

 

.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти частные производные данных функций:

а)

Ответ: .

б)

Ответ:

в)

Ответ: ,

.

г)

Ответ: , ,

    .

2. Вычислить приближённо:

а)                                        Ответ: .

б)                             Ответ: .

в)                               Ответ: .

3. Для данных функций найти требуемую частную производную:

а) , . Ответ: .

б) , .          Ответ: .

в) , .                   Ответ: .

г) , .                  Ответ: .

д) , .                 Ответ: .

е) ,                 Ответ: .

4. Найти  и  от следующих функций:

а) .

Ответ:

б)

Ответ: .

в)

Ответ: .

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: