![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнения, допускающие понижения порядка
Дифференциальное уравнение
называется дифференциальным уравнением Некоторые уравнения 1. Уравнение, содержащее независимую переменную и производную порядка
Общее решение его находится путем последовательного 2. Уравнение, не содержащее искомой функции:
то есть уравнение не содержит функцию 3. Уравнение, не содержащее независимой переменной:
Можно понизить порядок данного уравнения на единицу с помощью подстановки 4. Уравнение в точных производных:
то есть левая часть данного уравнения может быть представлена в виде 5. Уравнение, однородное относительно функции
то есть справедливо равенство Порядок уравнения в этом случае можно понизить на единицу с помощью подстановки
Примеры решения задач
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение вида 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение. Проинтегрировав уравнение
отсюда общее решение
С учетом начального условия 3. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Решив это уравнение относительно
Тогда общее решение можно записать в виде общего интеграла
4. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение, неразрешимое относительно
отсюда
Так как
Раскрыв скобки и проинтегрировав все интегралы, получим
Последнее равенство вместе с равенством 5. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Сделав замену
отсюда имеем
следовательно, 6. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. После подстановки 7. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение в точных производных. Поделим обе части на функцию
8. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение однородное относительно функции
Это линейное уравнение, решив его методом вариации постоянной или методом подстановки, получим
Задачи для самостоятельного решения 1. 2. Ответ: 3. 4. 5. 6. Ответ: 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Ответ: 19. 20.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 15 |
Последнее изменение этой страницы: 2019-06-19; Просмотров: 175; Нарушение авторского права страницы