Экстремум функции двух переменных

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 12Следующая ⇒

Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. , (необходимое условие экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума!

Пусть – стационарная точка функции . Обозначим , , , . Тогда

1) если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если , минимум, если ;

2) если , то в точке экстремума нет;

(достаточные условия наличия или отсутствия экстремума)

3) если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Условным экстремумом функции называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные и связаны уравнением (уравнение связи).

Условие определяет некоторую цилиндрическую поверхность в пространстве, которая пересекается с поверхностью по некоторой линии. Фактически необходимо исследовать на экстремум эту линию пересечения.

Укажем здесь два способа отыскания условного экстремума функции двух переменных.

I. Если уравнение связи записать в явном виде и подставить затем в уравнение , то останется лишь исследовать на экстремум полученную функцию одной независимой переменной.

II. Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа , где – множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этих трёх уравнений можно найти неизвестные , и .

Достаточные условия экстремума функции Лагранжа:

1) точка будет точкой условного максимума, если при ;

2) точка будет точкой условного минимума, если при .

Здесь , .

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1) найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры решения задач

1. Исследовать на экстремум функцию:

а) ;

б) .

Решение.

а) Находим частные производные 1-го порядка: , . Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

откуда , .

Находим значения частных производных второго порядка в точке :

, , .

Тогда , . Следовательно, в точке заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке .

б) Определим стационарные точки:

Отсюда

Получили три стационарные точки: .

Вычислим вторые производные: , , .

Теперь для каждой из трёх точек определим :

1) : , т. е. точка не является точкой экстремума;

2) : , т. е. точка не является точкой экстремума;

3) : . При этом . Вывод: – точка локального минимума функции с .

2. Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением .

Решение.

Из уравнения связи находим: . Тогда . Исследуем на экстремум эту функцию одной переменной: – критическая точка. Это точка максимума, т.к. в ней . При , , следовательно, в точке функция достигает наибольшего значения .

3. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение.

Пусть и – катеты треугольника, а – гипотенуза. Так как , то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции при условии, что и связаны уравнением , т.е. .