![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,
Однородные и сводящиеся к однородным уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют следующий вид:
Здесь коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от переменных
где Заметим, что при делении можно потерять частные решения, обращающие в нуль произведение Уравнение вида Однородное уравнение может быть записано в виде
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены Уравнения вида
приводятся к однородным уравнениям. Если
Если
Примеры решения задач
1. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Общее решение находится следующим образом:
Семейством интегральных кривых данного уравнения является семейство парабол. 2. Найти решение дифференциального уравнения Решение. Так как 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Правая часть заданного уравнения определена, непрерывна в интервале (-1, 1), причем обращается в нуль на концах этого интервала. Разделяем переменные и интегрируем:
отсюда общее решение уравнения имеет вид: 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Сделаем подстановку
Следовательно, общим интегралом данного уравнения будет
x + ctg
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Перепишем уравнение:
Интегрируем данное равенство:
следовательно, Отметим, так как c является произвольным постоянным числом, то иногда для упрощения записи ответа, вместо c записывают какую-нибудь функцию от нее, например, 6. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение. Разделив переменные, получим 7. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
Оно является однородным. Сделав подстановку
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
отсюда
или
Если 8. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Запишем уравнение в виде
Поделим числитель и знаменатель правой части равенства на
Видно, что это однородное уравнение. Сделав замену
После несложных преобразований найдем
Отсюда
Особыми решениями являются 9. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Это уравнение сводится к однородному уравнению, причем
Решив ее, найдем
которое можно также переписать в виде
Сделав замену
Разделяя переменные и интегрируя, находим Вернувшись к старым переменным по формулам Особых решений нет. 10. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Определитель
Сделав подстановку
После преобразований получим следующие интегралы:
Вычислив их и вернувшись к прежней функции, найдем ответ:
Задачи для самостоятельного решения 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ответ: 9. 10. Ответ: 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 13 |
Последнее изменение этой страницы: 2019-06-19; Просмотров: 195; Нарушение авторского права страницы