Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,

Однородные и сводящиеся к однородным уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют следующий вид:

.

 

Здесь коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от переменных  и . Данное уравнение приводим к уравнению с разделенными переменными путем деления на  и затем интегрируем. Получаем ответ в виде общего интеграла

 

,

 

где – произвольное постоянное число.

Заметим, что при делении можно потерять частные решения, обращающие в нуль произведение . В этом случае, если одно или оба уравнения  и  имеют решения  и , то равенства  и  нужно присоединить к ответу.

Уравнение вида , где , приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены , отсюда . Здесь – новая неизвестная функция.

Однородное уравнение может быть записано в виде

 

.

 

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены , отсюда , следовательно, .

Уравнения вида

,

 

приводятся к однородным уравнениям.

Если , то делаем замену  и , где  и  – новые переменные, а числа  и  находим из системы уравнений:

 

 

Если , , то в этом случае делаем замену , следовательно, .

 

Примеры решения задач

 

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Общее решение находится следующим образом:

 

.

 

Семейством интегральных кривых данного уравнения является семейство парабол.

2. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Так как , найдем . Это общее решение данного уравнения. Теперь подставим в общее решение , . Получим уравнение относительно неизвестной постоянной : , отсюда . Таким образом, частное решение данного уравнения: .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

 

Решение. Правая часть заданного уравнения определена, непрерывна в интервале (-1, 1), причем обращается в нуль на концах этого интервала. Разделяем переменные и интегрируем:

 

,

 

отсюда общее решение уравнения имеет вид: . Из равенства  находим решения , которые являются особыми.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Сделаем подстановку , тогда . Решаем полученное уравнение:

, , – ctg .

 

Следовательно, общим интегралом данного уравнения будет

 

x + ctg .

 

5. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Перепишем уравнение: . Разделяем переменные и представляем уравнение в виде

 

.

 

Интегрируем данное равенство:

, ,

 

следовательно, , или .

Отметим, так как c является произвольным постоянным числом, то иногда для упрощения записи ответа, вместо c записывают какую-нибудь функцию от нее, например, .

6. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

 

Решение. Разделив переменные, получим . Интегрируя, найдем , или . Решение  является частным решением заданного уравнения. Используя начальное условие , найдем . Ответ запишется в виде .

7. Найти решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

 

.

 

Оно является однородным. Сделав подстановку  и , получим уравнение на неизвестную функцию :

 

.

 

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

,

 

отсюда

, ,

 

или . Возвращаясь к прежней переменной, найдем общее решение:

.

 

Если , то , или . Это решение является особым вместе с решением , .

8. Найти решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Запишем уравнение в виде

 

.

 

Поделим числитель и знаменатель правой части равенства на :

 

.

 

Видно, что это однородное уравнение. Сделав замену , получим

 

.

 

После несложных преобразований найдем . Разделив переменные, получим следующие интегралы:

.

Отсюда  или, вернувшись к функции , запишем ответ в виде общего интеграла:

 

.

 

Особыми решениями являются ,  и , .

9. Найти решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Это уравнение сводится к однородному уравнению, причем . В нашем случае система уравнений на числа  и имеет вид:

 

 

Решив ее, найдем , . Подставив  и  в заданное уравнение, получим однородное уравнение

 

,

 

которое можно также переписать в виде , или

 

.

 

Сделав замену , получим

 

.

 

Разделяя переменные и интегрируя, находим .

Вернувшись к старым переменным по формулам  и , получим общий интеграл исходного уравнения: .

Особых решений нет.

10. Найти решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Определитель . Таким образом, делаем замену , отсюда . Перепишем заданное уравнение в виде

 

.

 

Сделав подстановку , получим уравнение с разделяющимися переменными:

.

 

После преобразований получим следующие интегралы:

 

, или .

 

Вычислив их и вернувшись к прежней функции, найдем ответ:

.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. .                                       Ответ: , .

2. , . Ответ: .

3. .            Ответ: .

4. .                         Ответ: arctg .

5. .                     Ответ: .

6. .               Ответ: .

7. .               Ответ: tg .

8. .                                 

Ответ: .

9. .                                     Ответ: .

10. .              

Ответ: .

11. .                                   Ответ: .

12. .                             Ответ: .

13. .                                       Ответ: .

14. .       Ответ: .

15. .                  Ответ: .

16. .                          Ответ: .

17. . Ответ: .

18. .         Ответ: .

19. . Ответ: .

20. . Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 13

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: