Приложения определённого интеграла

1). Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью , прямыми  и  вычисляется по формуле . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси  ( ), то её площадь определяется так: .Эти формулы можно объединить в одну:

 

.                                                                            (1)

 

Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и , прямыми  и  при условии  можно найти следующим образом:

.                                                              (2)

 

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми ,  и осью , выражается формулой

 

,                                                                       (3)

 

где  и  определяются из равенств  и  [  при ].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением  и двумя лучами ,  ( ), вычисляется по формуле

 

.                                                                        (4)

 

2). Вычисление длины дуги кривой.

Длина  кривой, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции , где , вычисляется по формуле:

 

.                                                                  (5)

 

При параметрическом задании кривой ,  [  и  – непрерывно дифференцируемые функции], где , длина дуги находится по формуле

 

.                                                                (6)

 

Если кривая задана уравнением ,  в полярных координатах, то длина дуги равна

 

.                                                                                (7)

 

3). Вычисление объёма тела.

Объём  тела, площади сечений которого плоскостями, перпендикулярными оси  известны ( ), вычисляется по формуле:

 

.                                                                              (8)

 

Если вокруг оси  вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком  и прямыми  и , то объём тела вращения равен .

 

Примеры решения задач

 

1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , , .

Решение.

Фигура имеет вид, представленный на рис.1. Её площадь определяется по формуле (1):

 

 

.

 

              Рис. 1.                                         Рис. 2.

 

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

 

,

 

из которой находим: . Искомую площадь (см. рис. 2) определяем по формуле (2):

.

 

3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды (рис. 3) с уравнением ,  и осью .

Решение.

Здесь , а  изменяется от  до . Следовательно, по формуле (3)

 

 

.

 

              Рис. 3.                                         Рис. 4.

 

4. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой .

Решение.

Четвёртой части искомой площади (рис. 4) соответствует изменение  от 0 до . По формуле (4) находим:

 

.

 

5. Вычислить длину дуги полукубической параболы  ( ) от точки с абсциссой  до точки .

Решение.

Здесь . Тогда . Тогда по формуле (5)

 

.

 

    Рис. 5.                      Рис. 6.                      Рис. 7.

 

6. Найти длину астроиды: .

Решение.

, . Тогда

 

 

.

 

Теперь по формуле (6) с учётом симметрии линии (рис. 6) находим

 

.

 

7. Найти длину кардиоиды: .

Решение.

Сначала найдём половину длины кривой, изображённой на рис. 7, по формуле (7), учитывая, что :

 

 

 

.

 

Значит, .

8. Найти объём эллипсоида .

Решение.

Рассекая эллипсоид (рис. 8) плоскостью, параллельной плоскости  на расстоянии  от неё ( ), в сечении получим эллипс с уравнением

или .

Площадь этого эллипса равна . Поэтому, по формуле (8), имеем

.

 

              Рис. 8.                                         Рис. 9.

 

9. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , , , вокруг оси .

Решение.

Для тела, изображённого на рис. 9, находим:

 

.

 

Задачи для самостоятельного решения

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1. .           Ответ: .

2. .            Ответ: .

3. .                                 Ответ: .

4. .                          Ответ: .

5. .                             Ответ: .

6. Эллипсом .                              Ответ: .

7. Астроидой .            Ответ: .

8. .                                                 Ответ: .

9. .                                             Ответ: .

Найти длины дуг кривых:

1.  от вершины до точки с . Ответ: .

2.  до точки с абсциссой .      Ответ: .

3.  от  до .                 Ответ: .

4. Одной арки циклоиды .       Ответ: .

5. .                                                Ответ: .

6. .                                               Ответ: .

7. .                                       Ответ: .

Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:

1. .                              Ответ: .

2. .                       Ответ: .

Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1.  вокруг оси .          Ответ: .

2.  вокруг оси .                      Ответ: .

3.  вокруг оси .         Ответ: .

4.  вокруг оси .         Ответ: .

5.  вокруг оси .                     Ответ: .

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: