Решение разностных уравнений при нулевых начальных условиях

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 11Следующая ⇒

Общий вид разностного уравнения можно представить следующим образом:

a₀y(n) + a₁y(n – 1) +... + a_my(n – m) =

= b₀u(n) + b₁u(n – 1) +... + b_ku(n – k).

Переход к изображениям дает следующий результат:

a₀y(z) + a₁z^-1y(z) +... + a_mz^-my(z) =

= b₀u(z) + b₁z^-¹u(z) +... + b_kz^-ku(z);

(a₀ + a₁z^-¹ +... + a_mz^-m)Y(z) =

= (b₀ + b₁z^-¹ +... + b_kz^-^k)U(z). (12.1)

Уравнение (12.1) является алгебраическим и имеет решение вида:

(12.2)

В уравнении (12.2) W(z) — дискретная передаточная функция представляет собой отношение выходной переменной Y(z) к входной U(z), которые преобразованы с помощью Z-преобразования при нулевых начальных условиях.

Оригинал решения (12.2) уравнения (12.1) находится путем обратного Z-преобразования:

y(n) = Z^-¹[W(z) U(z)].

Пример

Непрерывное дифференциальное уравнение:

Решение: X( ) = 1 – .

Дискретный аналог дифференциального уравнения:

Примем = 0, 068, тогда DX(i) + 0, 068X(i) = 0, 068;

X(i+1)-X(i) + 0, 068X(i) = 0, 068;

X(i+1) = 0, 932X(i) + 0, 068.

Z-преобразование дискретного аналога:

Дискретное решение:

где

Непрерывное решение:

Для решения разностных уравнений с помощью Z-преобразования целесообразно пользоваться соответствующей таблицей.

Таблица Z-преобразований

N	G(t)	G(z)
1	b[1 – e^-atsec(f)cos(w₀t+f)], где f = arctg[(a²+ w₀² – ab)/(bw₀)]	bz/(z – 1) – – b[z² – ze^-aTsec(f)cos(w₀T+f)]/ /[z²-2ze^-aTcos(w₀T)+e^-2aT]
2	1 – e^-atsec(f)cos(w₀t + f), где f = arctg(a/w₀)	z/(z – 1) – – [z² – e^-aTsec(f)cos(w₀T + f)]/ /[z – 2ze^-aTcos(w₀T) + e^-2aT
3	e^-bt – e^-atsec(f)cos(w₀t+f), где f = arctg[(b – a)/w₀]	z/(z – e^-bT) – – [z² – ze^-aTsec(f)cos(w₀T + f)]/ /[z² – 2ze^-aTcos(w₀T) + e^-2aT]
4	e^-atcos(w₀t)	[z² – ze^-aTcos(w₀T)]/[z² – 2ze^-aTcos(w₀T) + e^-2aT]
5	e^-atcos(w₀t)	ze^-aTsin(w₀T)/[z²-2ze^-aTcos(w₀T) + e^-^2aT]
6	a[1 – sec(f)cos(w₀t+f)], где f = arctg(w₀/a)	az/(z – 1) – – az[z – sec(f)cos(w₀T + f)]/[z² – 2z cos(w₀T) + 1]
7	1 – cos(w₀t)	z/(z – 1) – z[z – cos(w₀T)]/[z² – 2z cos(w₀T) + 1]
8	cos(w₀t)	z[z – cos(w₀T)]/[z² – 2zcos(w₀T) + 1]
9	sin(w₀t)	z sin(w₀T )/[z² – 2zcos(w₀T) + 1]
10	c + [a²(b – c)/(a – b)²]e^-bt + + {[ab(c-a)+bc(a-b)]/[(a-b)²]}e^-at + + [ab(c — a)/(a — b)]te^-at	cz/(z — 1) + a²(b — c)z/[(a — b)²(z — e^-bT)] + + [ab(c — a) + bc(a — b)]z/[(a — b)²(z — e^-aT)] + + [ab(c — a)Te^-aTz]/[(a-b)(z-e^-aT)²]
11	1 – [a²/(a — b)2]e^-bt + + {[ab + b(a — b)]/(a — b)²}e^-at + + [ab/(a – b)]te^-at	z/(z — 1) – az/[(a — b)²(z — e^-bT)] + + z[ab + b(a — b)]/[(a — b)²(z — e^-aT)] + + abTe^-aTz/[(a-b)(z-e-aT)²]
12	e^-bt – e^-at + (a — b)te^-at	z/[z — e^-bt] – z[z — e^-aT] + (a — b)Te^-aTz/[(z — e^-aT)²]
13	1 – (1 + at)e^-at	z/(z — 1) – z/(z — e^-aT) – aTe^-aTz/(z — e^-aT)²
14	d – {bc(d — a)/[(b — a)(c — a)]}e^-at – – {ca(d — b)/[(c — b)(a — b)]}e^-bt – – {ab(d — c)/[(a — c)(b — c)]}e^-ct	dz/(z — 1) – bc(d — a)z/[(b — a)(c — a)(z — e^-at)] – – ac(d — b)z/[(c — b)(a — b)(z — e^-bt) – – ab(d — c)z/[(a — c)(b — c)(z — e^-ct)]
15	1 – {bc/[(b — a)(c — a)]}e^-at – – {ca/[(c — b)(a — b)]e^-bt – – {ab/[(a — c)(b — c)]e^-ct	z/[z – 1] – bcz/[(b — a)(c — a)(z — e^-at)] – – acz/[(c — b)(a — b)(z — e^-bt) – – abz/[(a — c)(b — c)(z — e^-ct)
16	{(d — a)/[(b — a)(c — a)]e^-at + + {(d — b)/[(c — b)(a — b)]e^-bt+ + {(d — c)/[(a — c)(b — c)]}e^-ct	(d — a)z/[(b — a)(c — a)(z — e^-at)] + + ac(d — b)z/[(c — b)(a — b)(z — e^-bt)] + + ab(d — c)z/[(a — c)(b — c)(z — e^-ct)]
17	e^-at/[(b — a)(c — a)] + + e^-bt/[(c — b)(a — b)] + + e^-c^t[(a — c)(b — c)]	z/[(b — a)(c — a)(z — e^-at)] + + z/[(c — b)(a — b)(z — e^-bt)] + + z/[(a — c)(b — c)(z — e^-ct)]
18	c + [b(c — a)/(a — b)]e^-at + + [a(b-c)/(a — b)]e^-bt	cz/(z — 1) + b(c — a)z/[(a — b)(z — e^-aT)] + + a(b — c)z/[(a — b)(z — e^-bT)]
19	1 – [b/(a — b)]e^-at – [a/(a — b)]e^-bt	z/(z — 1) + bz/[(a — b)(z — e^-aT)] – az/[(a — b)(z — e^-bT)]
20	(c — a)e^-at + (b — c)e^-bt	(c — a)z/(z — e^-aT) + (b — c)z/(z — e^-bT)
21	e^-at+ e^-bt	z/(z — e^-aT) – z/(z — e^-bT)
22	t – (1 — e^-at)/a	Tz/(z — 1) – (1 — e^-aT)z/[a(z — 1)(z — e^-aT)]
23	1 – e^-at	[(1 — e^-aT)z]/[(z — 1)(z — e^-aT)]
24	t× e^-at	Tze^-aT/(z — e^-aT)²
25	e^-at	z/(z — e^-aT)
26	t	Tz/(z — 1)²
27	1(t)	z/(z — 1)
28	б(t)
29	б(t — kT)	z^-k

Лекция № 13

Связь методов исследования непрерывных и дискретных САУ (w-преобразование)

Устойчивость дискретных САУ, как и непрерывных, можно оценить по ее передаточной функции. По виду корней характеристического уравнения можно определить устойчивость системы, а также колебательность переходной функции. Устойчивость непрерывной САУ определяется по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Корни характеристического уравнения устойчивой непрерывной системы расположены в левой части комплексной плоскости (рис.13.1).

Рис. 13.1. Область устойчивости непрерывной САУ

Рис. 13.2. Область устойчивости дискретной САУ

Поскольку аргументом дискретной передаточной функции является оператор z = e^pT^п, где p = jw, левая полуплоскость комплексной плоскости «сворачивается» в круг единичного радиуса (рис. 13.2), поскольку оператор z можно записать в следующем виде:

z = e ^j^w^T^п = cos(wT_П) + j× sin(wT_П) = cos(v) + j× sin(v), (13.1)

где w — физическая частота; v = wT_П — безразмерная частота.

Условием устойчивости дискретной САУ является тот факт, что все корни ее характеристического уравнения должны лежать внутри единичного круга, т.е. |z_i| < 1. Если хотя бы один корень расположен за пределами единичного круга |z_i| > 1, то система неустойчива. Если же хотя бы один корень равен единице |z_i| = 1, то система находится на границе устойчивости.

Пример 1

Пусть дискретная САУ характеризуется передаточной функцией вида:

Тогда характеристическое уравнение можно записать следующим образом:

D(z) = z² – z + 0, 09 = 0.

Корни характеристического уравнения можно найти по теореме Виета:

(13.2)

На основании выражения (13.2) можно утверждать, что исследуемая система устойчива, поскольку |z| < 1.

К сожалению, использование других известных критериев (алгебраический, Михайлова, Найквиста и т.д.) для оценки устойчивости дискретной САУ невозможно из-за искажения комплексной плоскости.

Однако преобразование комплексной переменной z к другой комплексной переменной w позволяет вновь «развернуть» внутреннюю область круга (рис. 13.2) в левую полуплоскость (аналогичную показанной на рис. 13.1), что дает возможность применять критерии устойчивости непрерывных САУ для оценки устойчивости дискретных САУ.

Прямое и обратное преобразование комплексных переменных производится по формулам:

(13.3)

(13.4)

Пример 2

Пусть дискретная САУ характеризуется передаточной функцией вида:

Тогда характеристическое уравнение можно записать следующим образом:

D(z) = z² – z + 0, 09 = 0.

После преобразования характеристического уравнения по формуле (13.3) оно принимает вид

(13.5)

Уравнение (13.5) можно преобразовать к квадратному уравнению, умножив левую и правую части этого уравнения на (1 – w)²

D(w) = (1 + w)² – (1 + w)(1 – w) + 0, 09(1 – w)² =

= w² + 2w + 1 – 1 + w² + 0, 09 – 0, 18w + 0, 09w² =

= 2, 09 w² + 1, 82w + 0, 09 = 0. (13.6)

Преобразованное характеристическое уравнение (13.6) позволяет оценивать устойчивость дискретной САУ с помощью критериев, применяемых к линейным САУ.

1. Корневой критерий устойчивости требует, чтобы все корни характеристического уравнения были отрицательны.

D(w) = 2, 09 w² + 1, 82w + 0, 09 = 0. (13.7)

w₁ = — 0, 053; w₂ = — 0, 818, т.е. w_{1, 2} < 0. Следовательно, система устойчива.

2. Алгебраический критерий устойчивости требует, чтобы:

а) выполнялось необходимое условие (все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительны): 2, 09 > 0; 1, 82 > 0; 0, 09 > 0;

б) выполнялось достаточное условие (все диагональные миноры определителя Рауса — Гурвица также были бы положительны):

3. Критерий А.В. Михайлова формулируется так: если годограф характеристического многочлена (13.7), начинаясь на положительной части вещественной оси, проходит последовательно против часовой стрелки число квадрантов, равное порядку передаточной функции системы, то она устойчива. При нарушении хотя бы одного из перечисленных условий система неустойчива. При прохождении годографа через начало координат система находится на границе устойчивости.

В приведенном примере характеристический многочлен представлен в следующем виде:

D(w) = 2, 09 w² + 1, 82w + 0, 09.

Поскольку в соответствии с формулой (13.4) оператор w является мнимой частотой, характеристический многочлен можно записать в виде:

D(jl) = 2, 09 (jl)² + 1, 82(jl) + 0, 09

или

D(jl) = (0.09 – 2, 09)l² + 1, 82jl = U(l) + jV(l). (13.8)

Изменяя l от 0 до ¥, можно построить годограф характеристического многочлена (13.8).

таблица результатов расчёта годографа

l			¥
U(l)	0, 09	-2, 00	-¥
V(l)		1, 82	¥

Из таблицы видно, что годограф, начинаясь на положительной ветви действительной оси, проходит последовательно против часовой стрелки два квадранта, следовательно, система устойчива.

4. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ее передаточной функции в разомкнутом состоянии:

По полученному выражению расчётным путём определяются точки прохождения годографа Найквиста, по которым строится годограф. По виду годографа определяется устойчивость САУ.

Таблица. Расчёта годографа Найквиста

l		1/Ö 3		¥
U(l)	-0, 135	-0, 09	-0, 9975	0, 045
V(l)	¥		0, 045

Без построения годографа из таблицы видно, что при пересечении вещественной оси А(l) = U(l) > -1, т.е. годограф не охватывает точку с координатами (-1, j0), следовательно, система устойчива.

Лекция № 14

Правила преобразования структурных схем цифровых САУ

В общем виде структурная схема одноконтурной цифровой САУ (рис. 14.1) включает в свой состав: аналого-цифровой преобразователь (АЦП); цифровое управляющее устройство (ЦУУ); цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) и объект управления – непрерывная часть (НЧ) САУ.

Рис. 14.1. Структурная схема цифровой одноконтурной САУ

По аналогии с непрерывными САУ передаточная функция элемента цифровой САУ может быть определена как отношение выходной переменной к входной, которые преобразованы с помощью Z-преобразования при нулевых начальных условиях выходной переменной.

Особенностью цифровой САУ является тот факт, что в ее состав входят дискретные (цифровые) и непрерывные элементы. Поскольку расчет дискретных, в том числе и цифровых, САУ производится с помощью математического аппарата дискретных функций, необходимо передаточные функции непрерывных элементов представить в дискретной форме.

В современных цифровых системах управления период дискретности (повторения импульсов) обычно весьма мал. Поэтому выходную переменную непрерывного элемента достаточно рассматривать в дискретные моменты времени t = nТ_П. Для снижения пульсаций на вход непрерывного элемента подключают экстраполятор. Тогда непрерывная часть САУ совместно с экстраполятором будет представлять собой импульсный фильтр, характеризуемый приведенной решетчатой весовой функцией W₀(n) или передаточной функцией W₀(z).

Действительно, если на вход непрерывного звена с экстраполятором действует импульсный сигнал d₀[n], изображение которого X₀(z) = 1, то изображение выходного сигнала можно записать следующим образом:

Y₀(z) = Z{y[n]} = Z{W₀[n]}. (14.1)

На основании приведенных рассуждений можно найти передаточную функцию непрерывного звена с экстраполятором как отношение изображений выходной и входной переменных.

(14.2)

Исходя из равенства (14.2), можно утверждать, что дискретная передаточная функция непрерывной части САУ представляет собой Z-преобразование приведенной решетчатой весовой функции непрерывной части совместно с экстраполятором.

Приведенная весовая функция непрерывной части с экстраполятором определяется выражением:

W₀(p) = F_e(p) W_H(p), (14.3)

где — передаточная функция экстраполятора нулевого порядка; W_H(p) — передаточная функция непрерывной части без экстраполятора.

Из приведенных выражений (14.1) — (14.3) следует, что дискретная передаточная функция непрерывной части САУ может быть определена по передаточной функции непрерывной части САУ в случае использования экстраполятора нулевого порядка из следующего выражения:

(14.4)

Рис. 14.2. Типы соединения динамических звеньев САУ

Если все элементы дискретной САУ представлены дискретными передаточными функциями, а ее непрерывная часть оснащена экстраполятором (запоминающим устройством), то правила преобразования (рис. 14.2.) ее структурной схемы не отличаются от правил преобразования структурной схемы непрерывной САУ.

Последовательное соединение

Параллельное соединение

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒