Комплексные числа и функции в исследовании частотных свойств САУ

При исследовании систем управления по их математическим моделям встречаются решения, которые невозможно отобразить вещественными чис­лами (например, уравнение Х² = -9 не имеет решения, отображаемого вещест­венным числом). Здесь пользуются понятием мнимого числа (jb, где j — квадратный корень из -1; j = , а b — вещественное число).

Комплексным называют число, представляющее собой алгебраическую сумму вещественного и мнимого чисел вида:

A = (a + jb), где a — действительное число;

jb — мнимое число.

Графическое представление комплексного числа показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Отображение комплексного числа на комплексной плоскости

 

Действительные числа — это рациональные (записываемые с абсолютной точностью) и иррациональные (записываемые только с погрешностью округления) величины, отображаемые на действительной числовой оси — Re.

Мнимые числа — это величины, пропорциональные мнимой единице:

j = , где b — действительное число. Мнимые числа отображают на мнимой числовой оси — Im.

Комплексное число A = (a + jb) может быть отображено только на плоскости, где координатами являются взаимно перпендикулярные действительная и мнимая числовые оси. Эту плоскость называют комплексной.

В полярных координатах (рис. 3.2) комплексное число может быть представлено на плоскости с помощью полярного радиуса R и полярного угла f

Рис. 3.2. Отображение комплексного числа в полярных координатах

Соотношения между координатами имеют вид: A(R, f) = R× [cos(f) + j× sin(f)].

В показательной форме А(R, f) = R× е^{(j× f)} или с учетом формулы Эйлера:

е^{(j× f)} = cos(f) + j× sin(f).

— модуль комплексного числа; f = arctg(b/a) — аргумент комплексного числа. С учетом сказанного можно записать следующие равенства:

A = a + j× b = R[cos(f) + j× sin(f)] = R× е^(jf).

Числа, расположенные симметрично относительно оси абсцисс, называют комплексно сопряженными, например:

A₁ = a + jb и A₂ = a — jb.

Арифметические действия над комплексными числами осуществляются следующим образом:

A₁ + A₂ = (a₁ + jb₁) + (a₂ + jb₂) = (a₁+ a₂) + j(b₁+ b₂);

A₁ × A₂ = R₁e^(jf1)× R₂e^(jf2) = R₁R₂e ^j(f1+f2);

Aⁿ = Rⁿe^(jnf) = Rⁿ[cos(f) + jsin(f)]ⁿ.

Если a и b — переменные величины, то A = a + jb — комплексная переменная, а F(A) называется функцией комплексного переменного.

Функция F(A) является непрерывной, если в любой точке А₀ имеют место равенства:

;

.

Если последний предел существует, то F(A) — аналитическая функция. Пусть функция F(A) = P(a, b) + jQ(a, b), тогда аналитичность функции F(A) определяется по условиям Коши-Римана:

.

Примером аналитической функции комплексного переменного может служить частотная передаточная функция W(p) → W (jw) (амплитудно-фазо-частотная ха­рактеристика (АФЧХ)), где оператор Лапласа p = jw, а w - физическая частота.

Пример 1

, где

;

;

Пример 2

При последовательном соединении двух динамических звеньев (рис. 3.3.) с передаточными функциями и

Рис. 3.3. Последовательное соединение динамических звеньев

 

общая АФЧХ соединения определяется следующим образом

 

где

Пример 3

С помощью АФЧХ можно определить устойчивость любой линейной САУ.

Критерий устойчивости Михайлова:

.

Характеристическое уравнение:

D(p) = p³ + p² + p + 1;

D(jw) = (jw)³ + (jw)² + jw + 1 = (1 — w²) + j(w — w³);

U(w) = 1 — w²; V(w) = w(1 — w²).

Результаты расчёта устойчивости САУ приведены в таблице, а изображение годографа показано на рис. 3.4.

Таблица Результаты расчёта годографа

w		0.5	1.0	2.0	¥
U(w)		0.75		-3	-¥
V(w)		0.375		-6	-¥

 

Рис. 3.4. Годограф характеристического уравнения

Вывод: судя по годографу, система находится на границе устойчивости.

Лекция № 4

Ряд и интеграл Фурье в анализе нелинейных САУ

Функции вида (рис. 4.1.) неудобны при аналитических исследованиях нелинейных систем управ­ления.

Рис. 4.1. Нелинейная функция

 

Для облегчения исследовательских задач Фурье предложил такие функции раскладывать в ряд:

n = 1, 2, 3, ... выбирается в зависимости от желаемой точности апп­роксимации исходной функции F(τ ):

;

;

.

Здесь — частота, имеющая размерность, [рад/с].

Следует заметить, что при n ® ¥ , т.е.

или в комплексной форме:

где

Пример 1

Нелинейная функция вида представлена на рис. 4.2.

 

Рис. 4.2. Нелинейная функция с ограничением по времени

Здесь T = 2p, a w = 2p/T = 1 и

при k = 1, .

Из последнего выражения следует, что все коэффициенты b_k с четными индексами равны нулю, а с нечетными — . Тогда для k = 1, 3, 5, ...

где n = 0, 1, 3, ..., k.

 

Функцию F_n( ) можно считать аналитической, приближенно отражающей функцию F( ).

Более точное приближение получается, если дискретность частот гармонических составляющих стремится к нулю, а число гармоник — к бесконеч­ности.

где

Поскольку функция, F(τ ), как следует из предыдущего выражения, представляет со­бой сумму бесконечного числа колебаний с амплитудами, зависящими от частоты

и фазы

,

выражение F(τ ) можно также представить следующим образом:

При рассмотрении функции F(τ ) в пределах от -¥ до ¥ в силу сим­метрии косинуса это выражение принимает вид:

.

Или в комплексной форме:

Интеграл Фурье дает разложение временной функции F(τ ) в непрерыв­ный спектр, тогда как ряды Фурье — в дискретный с частотами w = 2p, 4p, 6p и т.д.

Плотность спектра (спектральная плотность) характеризуется зави­симостью:

Тогда с учетом этого интеграл Фурье можно записать в виде:

Пример 2

Пример 3

При b ® 0 в примере 2 F(τ ) ® 1 при τ > 0.

Тогда в соответствии с предыдущим выражением можно записать выражение для единичной ступенчатой функции:

Исходя из рассмотренных зависимостей Фурье, предложено интеграль­ное преобразование

— прямое преобразование Фурье;

— обратное преобразование Фурье.

В соответствии с формулой Эйлера прямое преобразование Фурье можно представить в виде:

Лекция № 5

Свойства преобразования Фурье

Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде:

где

Если функция f(τ ) определена только при τ > 0, т.е. f(τ ) = 0 при τ < 0, рассмотренные функции F₁(w) и F₂(w) имеют самостоятельное наз­вание и значение:

— косинус-преобразование Фурье;

— синус-преобразование Фурье.

Пример 1

Преобразование Фурье применяется при исследовании частотных ха­рактеристик САУ и ее элементов. Для САУ с весовой функцией

преобразование Фурье имеет вид:

Здесь функция F(jw) является амплитудно-фазо-частотной характе­ристикой (АФЧХ) системы автоматического управления (САУ).

Такой же результат может быть достигнут, если воспользоваться си­нус- и косинус-преобразованиями Фурье

, где

— вещественная часть АФЧХ;

— мнимая часть АФЧХ.

Рассмотренные зависимости справедливы в тех случаях, когда F(τ ) = 0 при τ < 0.

В противном случае, если при τ < 0 F(τ ) ¹ 0, то имеет место равенство: τ

что существенно затрудняет аналитическое исследование рассматриваемой функции. Для выхода из этого положения пользуются преобразованием Лапласа, которое будет рассмотрено далее.

Кроме того, следует заметить, что для многих функций интеграл при преобразовании Фурье расходится. Например, e^bτ = ¥ при b > 0 и τ = ¥.

Если вместо функции f(τ ) рассматривают функцию , где х = const, то интеграл преобразования Фурье сходится для большинства аналитических функций. Например, если x > b, то e^-xτ e^bτ = e^(b-x)τ = 0 при τ = ¥ .

Следовательно, если ввести нормирующую функцию e^-xτ , то интеграл Фурье практически всегда сходится при τ ® ¥.

Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид:

прямое и обратное преобразование функций представляется следующим об­разом:

Если ввести обозначение s = x + jw, то Fx(jw) = F(x+jw) = F(s).

Поскольку x = const, a -¥ < w < ¥ , x - j¥ < s < x + j¥, т.е. изменению переменной s соответствует перемещение F(s) по мнимой оси комплексной плоскости (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Отображение переменной s на комплексной плоскости

С учетом введенного обозначения прямое и обратное преобразование Фурье принимает вид:

 

(5.1)

где Im (s) = w — частота гармоники разложения f(τ ) в спектр;

Re (s) = x — декремент затухания гармоники разложения f(τ )в спектр;

выражение (5.1) представляет собой интеграл Лапласа.

Пример 2

Преобразование функции F(τ ), где , принимает вид:

Приведенное в примере 1 преобразование называют интегральным преобразованием Лапласа, которое определяется интегралом

Более общим операционным преобразованием является интегральное преобразование Лапласа. Здесь оператор s заменен оператором р:

где .

Таким образом:

Следовательно, преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа и получается:

Следствия:

1. Для вычисления преобразования Фурье можно пользоваться таблицами преобразования Лапласа.

2. Преобразование Лапласа существует для широкого класса функций.

Лекция № 6

Свойства непрерывного преобразования Лапласа

Как показано выше, в основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье.

В общем виде преобразование Лапласа может быть представлено в виде выражения

Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:

1) однозначность: L[F( )] = F(р), L^-1[F(р)] = F( );

2) линейность:

3) дифференцирование:

4) интегрирование:

5) свертка оригиналов: L[F₁(τ )*F₂(τ )] = F₁(р)× F₂(р);

6) умножение оригиналов:

7) смещение:

Примеры получения отображений по оригиналам:

Здесь

При нулевых начальных условиях (F(τ ) = 0приτ £ 0) и отсутствии у функции F(jw) полюсов справа от мнимой оси комплексной плоскости преобразование Фурье совпадает с преобразованием Лапласа, если p = jw. Такое предположение справедливо для многих аналитических функций, применяемых для математического описания САУ. Большинство из них приведено в следующей таблице.

Таблица преобразования Лапласа непрерывных функций

№ п/п	G(t)	G(p)
	d(t – kT)	e-kTp
	d(t)
	1(t)	1/p
	t	1/p2
	e-at	1/(p+a)
	te-at	1/(p+a)2
	1 – e-at	a/[p(p+a)]
	t – (1 – e-at)/a	a/[p2(p+a)]
	e-at + e-bt	[(b-a)]/[(p+a)(p+b)]
	(c-a)e-at + (b-c)e-bt	[(b-a)(p+c)]/ /[(p+a)(p+b)]
	1 – {b/[a – b]}e-at – {a/[a – b]}e-bt	ab/[p(p+b)(p+c)]
	c + {[b(c – a)]/[a – b]}e-at + {[a(b – c)]/[a – b]}e-bt	[ab(p+c)]/[p(p+a)(p+b)]
	e-at/[(b – a)(c – a)] + + e-bt/[(c – b)(a – b)] + + e-ct/[(a – c)(b – c)]	1/[(p+a)(p+b)(p+c)]
	{[d – a]/[(b – a)(c – a)]}e-at + + {[d – b]/[(c – b)(a – b)]}e-bt + + {[d – c]/[(a – c)(b – c)]}e-ct	[(p+d)]/ /[(p+a)(p+b)(p+c)]
	1 – {[bc]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab]/[(a – c)(b – c)]}e-ct	abc/[p(p+a)(p+b)(p+c)]
	1 – (1 + at)e-at	[a2]/[p(p+a)2]
	e-bt – e-at + (a-b)te-at	[(a-b)2]/[(p+b)(p+a)2]
	sin(w0t)	w0/[p2 + w02]
	cos(w0t)	p/[p2 + w02]
	1 – cos(w0t)	w02 /[p(p2+w02)]
	a[1 – sec (f) cos(w0t + f)], где f = arctg [w0/a]	[w02(p+a)]/[p(p2+w02)]
	e-atsin(w0t)	w0/[(p+a)2+w02]
	e-atcos(w0t)	[p+a]/[(p+a)2+w02]
	b[1 – e-at sec (f) cos(w0t + f)], где f = arctg [a2+ w02 – ab]/[bw0]	[(a2+w02)(p+b)]/ /{p[(p+a)2+w02]}
	1 – e-at sec (f) cos(w0t + f), где f = arctg [a/w0]	[a2+w02]/ /{p[(p+a)2+w02]}
	e-bt – e-at sec (f) cos(w0t + f), где f = arctg [(b – a)/w0]	[(a – b)2+w02]/ /{(p+b)[(p+a)2+w02]}
	c + {[a2(a – b)]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab(c – a)+bc(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab(c –a)]/[a – b]}te-at	[a2b(p+c)]/ /[p(p+b)(p+a)2]
	1 – {[a2]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab + b(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab]/[a – b]}te-at	[a2b]/[p(p+b)(p+a)2]
	d – {[bc(d – a)]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca(d – b)]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab(d – c)]/[(a – c)(b – c)]}e-ct	[abc(p+d)]/ /[p(p+a)(p+b)(p+c)]

 

Лекция № 7

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III. Вегетативные функции НС.
2. III. Предмет, метод и функции философии.
3. Int mul (int x, int у); // Прототип функции mul().
4. L-карнитин для похудения: эффективность, свойства и дозировки
5. VIII. Порядок подачи абонентами декларации о составе и свойствах сточных вод
6. Агрегирующие функции языка SQL
7. Алгоритмы записи произвольной функции, заданной в таблице в виде с помощью элементарных функций.
8. Анализ качества работы замкнутой САУ
9. Антикризисный менеджмент. Функции и факторы антикризисного управления
10. Антифрикционные материалы. Строение, свойства и применение.
11. Антонимы. Типы антонимов. Антонимия и полисемия. Стилистические функции антонимов (антитеза, антифразис, амфитеза, астеизм, оксюморон и т.д.). Энантиосемия. Словари антонимов.
12. антропоцентризм как фундаментальное свойство языка. Объективный и субъективный.