Дискретные функции в исследовании микропроцессорных САУ

В настоящее время нашли широкое распространение вычислительные устройства (микропроцессоры, контроллеры, компьютеры и т.п.), которые используют в качестве управляющих устройств.

Как известно, вычислительные устройства представляют собой дискретные элементы. В этом случае системы автоматического управления, в состав которых входят вычислительные устройства, называют дискретными (ДСАУ).

В тех случаях, когда инерционность объекта управления много больше инерционности вычислительного устройства, для расчёта ДСАУ можно пользоваться математическим аппаратом непрерывных функций, который был рассмотрен в предыдущих десяти лекциях.

Когда инерционность объекта управления и управляющего вычислительного устройства близки, при анализе и синтезе систем автоматического управления и регулирования необходимо пользоваться математическим аппаратом дискретных функций.

Как известно, дискретные функции применяются для описания импульсных сигналов различной амплитуды и длительности.

Источником импульсных сигналов служат импульсные элементы.

В качестве импульсного элемента могут быть прерыватели или переключатели. Эти элементы преобразуют непрерывный сигнал в последовательность импульсов. Поскольку данную последовательность невозможно описать непрерывными функциями, было введено понятие решетчатой (дискретной) функции.

Рис. 11.1. Выходные импульсные сигналы широтно-импульсного модулятора: A — амплитуда импульса; T_П — период повторения импульсов;

Т_И — длительность импульса; w = 1/T_П — частота повторения импульсов;

S = T_П/Т_И — скважность последовательности импульсов

Решетчатой называют такую функцию, значения которой определены только лишь в дискретные (отдельные) равноотстоящие моменты времени (рис. 11.1.).

 

Рис. 11.2. Амплитудно-импульсная модуляция непрерывного сигнала

В отличие от непрерывной функции, решетчатая функция X(t) в качестве аргумента имеет набор чисел (nT_П) и набор своих значений (рис. 11.2.):

,

где Т_П — период повторения импульсов бесконечно малой длительнос­ти, амплитуда которых равна X(nT_П); n — любое целое число. Обычно пери­од повторения (T_П) импульсов принимается равным 1, и тогда решетчатая функция записывается в виде X(n).

С решетчатыми функциями можно производить все известные математические операции:

1. Сложение — вычитание

X(n) = x(n) + y(n);

X(n) = x(n) – y(n).

2. Умножение — деление

X(n) = x(n)× y(n);

X(n) = x(n)/y(n).

3. Дифференцирование равносильно разности соседних дискрет

(различают прямую и обратную разности):

D_P X(i) = x(i + 1) – x(i) — прямая разность;

D_O X(i) = x(i) – x(i – 1) — обратная разность.

4. Интегрирование равносильно сложению дискрет

(различают полную и неполную сумму):

— полная сумма;

— неполная сумма.

 

При решении разностных уравнений могут встретиться разности более высокого порядка, чем первый. Многократные разности вычисляются следующим образом:

 

 

Пример

Непрерывное дифференциальное уравнение:

Решение непрерывного уравнения

Дискретный аналог непрерывного дифференциального уравнения можно получить следующим образом.

После принятия D = 0, 068 дифференциальное уравнение записать так:

Δ x(i) = – 0, 068x(i) + 0, 068;

x(i+1) = x(i) – 0, 068x(i) + 0, 068.

Выражение x(i+1) = 0, 932x(i) + 0, 068 представляет собой решение дискретного уравнения.

Полученное решение позволяет численным методом найти все значения х(i) при i от 0 до N).

Лекция № 12

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ

Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в мнимом частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные уравнения в алгебраические, чем существенно облегчается иссле­дование линейных стационарных систем управления.

Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют представить разностные уравнения и дискретные функции в алгебраических выражениях и упростить аналитическое исследование импульсных и цифровых систем управ­ления. Дискретное преобразование Лапласа осуществляется по формуле:

, где

f(nT) — дискретная (решетчатая) функция; nT — аргумент дискретной функции; n = 0, 1, 2, ..., ¥ — ряд целых чисел; Т — период повторения им­пульсов; p — оператор Лапласа.

Если принять обозначения: Т = 1; e^Tp= z,

то можно перейти к более удобному при аналитических исследованиях дискретных систем Z-преобразованию:

.

Переменную z можно представить как оператор задержки на nT единиц времени.

Z-преобразование обозначается следующим образом:

Z-преобразование обладает следующими свойствами:

1. Линейность:

.

2. Запаздывание (сдвиг функции вправо):

.

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле:

Z[f(n – m)] = z^-mF(z).

3. Опережение (упреждение — сдвиг функции влево):

..

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при значениях аргумента n от 0 до m – 1, то Z-преобразование производится по формуле:

Z[f(n + m)] = z^mF(z).

4. Изображение разностей:

а) обратная разность:

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицатель­ных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле:

а для разности k –го порядка — по формуле:

б) прямая разность:

.

5. Изображение сумм:

a) неполная сумма:

б) полная сумма:

.

 

6. Изображение суммы ординат решетчатой функции:

.

 

7. Начальное и конечное значение функций:

а) конечное значение:

б) начальное значение:

.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III. Вегетативные функции НС.
2. III. Предмет, метод и функции философии.
3. Int mul (int x, int у); // Прототип функции mul().
4. Агрегирующие функции языка SQL
5. Алгоритмы записи произвольной функции, заданной в таблице в виде с помощью элементарных функций.
6. Анализ качества работы замкнутой САУ
7. Антикризисный менеджмент. Функции и факторы антикризисного управления
8. Антонимы. Типы антонимов. Антонимия и полисемия. Стилистические функции антонимов (антитеза, антифразис, амфитеза, астеизм, оксюморон и т.д.). Энантиосемия. Словари антонимов.
9. Архитектура САУ технологическим процессом
10. Б. Специфические функции нервных клеток ЦНС и периферического отдела нервной системы.
11. Базальные ганглии. Морфофункциональная организация. Функции
12. Биогеоценотические функции почвы.