Матрицы и операции с матрицами

При описании многомерных технологических объектов управления требуется отобразить взаимосвязь параметров, характеризующих состояние этих объектов. В этом случае для математического описания состояния технологических объектов управления применяют математический аппарат матричного исчисления.

Исторически понятие матрицы и матричного исчисления возникло в связи с изучением систем линейных уравнений. Система уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_2nx_n = b₂;

.................................……….;

a_n1x₁ + a_n2x₂ +... + a_nnx_n = b_n.

 

может быть представлена в компактной форме AX = B, где А — квадратная матрица

B = | b₁ b₂... b_n |^Т — матрица-столбец;

X = |x₁ x₂... x_n|^Т — n-мерный вектор (который имеет вид матри­цы-столбца);

^Т — знак транспонирования.

Вектор Х называют n-мерным по числу его координат х₁, х₂, ..., х_n. Используя понятия вектора и матрицы, решение систем уравнений можно формально трактовать как преобразования векторов и матриц.

Пример решения системы уравнений:

или AX = B, (16.1)

здесь

Для решения системы (16.1) необходимо найти обратную матрицу А^-1 и умножить слева на эту матрицу обе части уравнения (16.1)

А^-1AX = А^-1B; X = А^-1B, так как — единичная матрица.

Таким образом, для решения систем линейных уравнений целесообраз­но воспользоваться математическим аппаратом алгебры матриц.

Алгебра матриц

Матрицей размером m ´ n называют таблицу вида

где m = 1, 2, 3, ..., i, ..., — номер строки;

n = 1, 2, 3, ..., j, ... — номер столбца;

a_ij — элемент матрицы, находящийся в i-той строке и j-том столбце.

При m = n матрицу А называют квадратной;

при m = 1матрицу А называют матрицей-строкой;

при n = 1 матрицу А называют матрицей-столбцом;

при m = n = 1 матрицу А называют скалярной величиной;

в других случаях матрицу А называют прямоугольной.

Элементы a₁₁, a₂₂, ..., a_mn расположены на главной диагонали.

Транспонированной к матрице А называют матрицу A^Т, столбцы которой совпадают со строками матрицы А (и наоборот):

.

Если А^Т = A, то А — симметрическая матрица;

если А^Т = -А, то А — кососимметрическая матрица.

Применительно к системе линейных алгебраических уравнений матрица представляет собой таблицу коэффициентов при переменных:

а₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n = b₁₁u₁+b₁₂u₂+...+b_1ku_k;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n = b₂₁u₁+b₂₂u₂+...+b_2ku_k;

...........................................…………………;

a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mnx_n = b_m1u₁+b_m2u₂+...+b_mku_k,

или

,

или

AX = BU, где

При решении систем линейных уравнений пользуются понятием обрат­ной матрицы, которая определяется из соотношения:

AA^-1 = I,

где

— единичная матрица (квадратная).

A^-1 = Adj A / | A |,

где

| A | — определитель матрицы А;

Adj A — присоединенная матрица, получаемая транспонированием матрицы, составленной из миноров каждого элемента матрицы А, взятых со знаком (-1)^(i+о) (минор элемента составляют из элементов матрицы А после вычеркивания i-той строки и j-того столбца).

Следует заметить, что обратная матрица существует, если |A|¹ 0.

Для прямоугольных матриц (m ¹ n) существуют псевдообратные матрицы:

B = (A^ТA)^-1A^Т — левосторонняя обратная матрица, т.е.

BA = I (здесь А — матрица-столбец);

С = A^Т (AA^Т)^-1 — правосторонняя обратная матрица, т.е.

АС = I (здесь А — матрица-строка).

Действия над матрицами:

1. Сложение:

2. Умножение:

3. Транспонирование:

(AB)^Т = B^ТA^Т.

4. Разложение:

.

5. Умножение на скаляр:

6. Обращение произведения:

[AB]^-1 = B^-1A^-1.

7. Вычисление определителя матрицы

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера

Рассмотрим систему уравнений, у которой число неизвестных совпа­дает с числом уравнений:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_2nx_n = b₂;

.................................……….;

a_n1x₁ + a_n2x₂ +... + a_nnx_n = b_n.

В матричной форме система имеет вид АХ = В, где

Пусть определитель матрицы А представлен выражением:

Для решения системы вводятся определители D_j(j = 1, 2, ..., n), полу­чаемые путем замены в определителе D столбца при неизвестных x_j столб­цом матрицы В:

Теорема Крамера утверждает, что система n линейных уравнений с n неизвестными при D ¹ 0 всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формуле:

, j = 1, 2, ..., n.

Пример

Система АX = B, где

; _ .

Тогда D = 1× (-3) – 2× 2 = -7; ;

;

Система алгебраических уравнений характеризует установившееся состояние системы управления. Поведение системы управления в переходном режиме характеризуется системой дифференциальных уравнений.

Лекция № 17

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Арифметические операции Ассемблер. Команды Ассемблера
2. Арифметические операции с непосредственной адресацией
3. Арифметические операции. Целые и рациональные числа, константы в Maple
4. Банки: сущность, виды, банковские операции
5. Без Чистой воды, без Разума, без Мировоззрения, без Кооперации – дальнейшее существование Человека на Земле невозможно.
6. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
7. Векторы и матрицы. Основные числовые характеристики.
8. Векторы и операции над векторами
9. Влияние металлической матрицы и структуры чугуна на механические свойства отливки
10. Вычисление определителя и обратной матрицы
11. ГЛАВА 20. Договор о патентной кооперации
12. Диаграммы параллельной кооперации