Математические модели и характеристики САУ и ее элементов

В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями.

Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его свойств, интересующих исследователя.

В тех случаях, когда не удается описать свойства объекта математически или найти его аналог, прибегают к физическому моделированию. Этот метод наиболее длительный и дорогостоящий, но самый достоверный.

Аналоговые модели реальных объектов обычно исследуют на аналоговых вычислительных машинах. Они универсальны, просты в обращении и недороги, но точность моделирования ограничена.

Математические модели требуют минимума материальных затрат при их исследовании, но точность моделирования ограничена лишь принятыми при ее составлении допущениями.

В теории автоматического управления пользуются математическими моделями объекта управления в виде дифференциальных и алгебраических уравнений.

Модели должны давать возможность определить реакцию объекта или системы на стандартные воздействия. В качестве последних чаще всего применяются:

1) ступенчатое воздействие [U(t) = 1(t)];

2) импульсное воздействие [U(t) = d(t)];

3) гармоническое воздействие [U(t)=А× sin(wt)].

Названные воздействия позволяют определить следующие количественные характеристики объекта или системы:

1. Временные:

а) переходная функция;

б) импульсная (весовая) переходная функция.

2. Частотные:

а) амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

б) фазо-частотная характеристика (ФЧХ);

в) амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ);

г) логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ).

Временные характеристики могут быть получены путем решения дифференциальных уравнений математической модели:

где H(t) — переходная функция.

где W(t) — импульсная переходная функция.

Частотные характеристики могут быть получены из передаточной функции после замены оператора р на оператор jw.

W(p) W(jw) = U(w) + j× V(w) — АФЧХ (частотная передаточная функ­ция), где U(w) — вещественная часть АФЧХ; V(w) — мнимая часть АФЧХ.

— АЧХ.

— ФЧХ.

L(w) = 20× lg[ A(w) ] — ЛАЧХ.

Перечисленные модели и характеристики могут быть определены следующим образом.

Переходной функцией называют реакцию элемента или САУ на единичное ступенчатое воздействие:

H(τ ) = F[X(τ ), U(τ )],

где H(τ ) — переходная функция; X(τ ) — выходная переменная; U(τ )=1(τ ) — входная переменная, представляющая собой единичную ступенчатую функцию.

Импульсной переходной функцией называют реакцию элемента или САУ на импульсное воздействие:

W(t) = F[X(t), U(t)],

где W(t) — импульсная переходная (весовая) функция; X(τ ) — выходная переменная; U(t)= (t) — входная переменная, представляющая собой импульсную функцию бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности (дельта-функция).

К частотным характеристикам относят амплитудно-частотную (АЧХ), фазо-частотную (ФЧХ), амплитудно-фазо-частотную (АФЧХ) и логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ).

Амплитудно-частотной характеристикой называют графическое или ма­тематическое отображение отношения амплитуды выходной переменной к амплитуде входной переменной в установившемся режиме при изменении частоты синусоидальных колебаний входной переменной от 0 до ¥:

,

где А(w) — амплитудно-частотная характеристика; А_вых(w) — зависимость амплитуды колебаний выходной переменной от частоты изменения входной переменной; А_вх(w) — зависимость амплитуды колебаний входной переменной от частоты. Обычно амплитуда колебаний входной переменной принимается постоянной, не зависящей от частоты.

Фазо-частотная характеристика представляет собой графическое или математическое отображение зависимости разности фаз колебаний входной и выходной переменных в установившемся режиме при изменении частоты синусоидальных колебаний входной переменной от 0 до ¥:

F(w) = F_вых(w) - F_вх(w),

где F(w) — фазо-частотная характеристика; F_вых(w) — фаза колебаний выходной переменной; F_вх(w)= 0 — фаза колебаний входной переменной. Фаза колебаний входной переменной принимается равной нулю независимо от частоты ее колебаний.

Амплитудно-фазо-частотная характеристика (функция) представляет собой математическое или графическое отображение траектории конца вектора на комплексной плоскости, длина которого изменяется в соответствии с амплитудно-частотной характеристикой А(w), а угол поворота — в соответствии с фазо-частотной характеристикой F(w).

Эту траекторию называют годографом:

где W(jw) — амплитудно-фазо-частотная характеристика (частотная передаточная функция);

А(w) — амплитудно-частотная характеристика;

— комплексная часть АФЧХ;

F(w) — фазо-частотная характеристика;

j — мнимая единица.

Пример

Пусть поведение объекта или системы характеризуется дифференци­альным уравнением

или передаточной функцией

.

Тогда при u(t) = 1(t) переходная функция определяется выражением:

H(τ ) = K× (1 — e^-t/T).

Импульсная переходная функция u(t) = d(t)

Амплитудно-фазо-частотная характеристика

.

Амплитудно-частотная характеристика

.

Фазо-частотная характеристика

F(w)= arctg (-T× w).

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Лекция № 8

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритмы и модели компоновки
2. Анализ качества работы замкнутой САУ
3. Архитектура САУ технологическим процессом
4. В кейнсианской модели общего экономического равновесия
5. В кейнсианской модели совокупные расходы (АЕ) представлены расходами домохозяйств (потребительские расходы – С) и фирм (инвестиционные расходы – I ).
6. Воскресенье, 18 мая — Саус-Бич
7. Вторая половина XIV-начало XV в.: успешное развитие процесса объединения и зарождения элементов единого государства.
8. Вторичные моделирующие системы
9. Выбор и проверка элементов СИСТЕМы
10. Выбор критериев производительности – результативности методом экспертного моделирования
11. Геоэкономические модели современного мира.
12. Глава 3. Создание модели сборочной единицы