Математическое описание случайных процессов в САУ

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 11Следующая ⇒

Всякая реальная система управления в технологическом процессе подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде, накладываются друг на друга и образуют изменяющееся случайным образом возмущающее воздействие на систему управления.

Такого рода возмущениями могут быть, например, произвольное изменение нагрузки на объект управления, случайные колебания мощности источника энергии управления и т.п..

В тех случаях, когда пренебрежение перечисленными воздействиями недопустимо, систему управления следует рассматривать как стохастическую и для ее исследования и синтеза применять математический аппарат теории вероятностей. Это позволяет осуществить достаточно точное описание системы управления, подверженной случайным воздействиям, а также обеспечивает синтез системы с требуемым качеством управления.

Как известно, система управления может находиться в переходном или в установившемся состоянии. Математический аппарат теории вероятностей, применяемый для описания переходных состояний системы, весьма сложен и в инженерной практике не применяется. В связи с этим при инженерных расчетах стохастических систем рассматривают поведение системы в установившемся режиме, называемом стационарным.

Пусть на систему или динамический элемент действует возмущающее воздействие F( ), величина которого изменяется по случайному закону, т.е. каждое последующее значение не зависит от предыдущего.

Если многократно записать реализацию этого процесса при постоянных условиях функционирования системы или элемента, то можно получить множество случайных функций f₁( ), f₂( ), ..., f_n( ).

Для описания таких случайных функций выбирают на оси времени любой достаточно большой интервал времени наблюдения Т и, пользуясь математическим аппаратом теории вероятностей, определяют среднее значение функции f( ) по множеству ее измерений, которое называют статистическим средним или математическим ожиданием.

Другой оценкой случайной функции служит ее среднее значение по времени, которое определяется по одной реализации случайного процесса на достаточно большом интервале времени по формуле:

Если для всех случайных функций, полученных при реализации случайного процесса, функции распределения вероятностей одинаковы, т.е. не зависят от выбора момента начала интервала наблюдения, то такой случайный процесс называется стационарным. Типичным стационарным случайным процессом является так называемый белый шум. Он представляет собой случайный процесс изменения некоторой случайной величины, в котором отсутствует какая-либо связь между ее предыдущим и последующим значениями.

В стационарном случайном процессе среднее статистическое значение изменяющейся какой-либо величины, например x( ), равно среднему ее значению по времени.

Это положение о равенстве среднего статистического для фиксированного момента времени и среднего за время наблюдения для стационарных случайных процессов базируется на гипотезе эргодичности, которая утверждает, что среднее по множеству реализаций случайного процесса совпадает со средним по времени одной реализации. Среднее – это название значения случайной функции.

Смысл этого утверждения сводится к тому, что для стационарного случайного процесса исследование большого числа произвольно выбранных реализаций случайной функции в фиксированный момент времени дает такие же результаты, что и исследование всего одной реализации в течение достаточно длительного интервала времени наблюдения.

Для стационарного случайного процесса характерно, что среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения является постоянной величиной и вычисляется по формуле:

Кроме того, для оценки случайного процесса пользуются понятием корреляционной функции R(q), которое физически выражает усредненные энергетические свойства случайных процессов, дает возможность судить о скорости изменения случайной величины и характеризует связь между двумя ее значениями — x( ) и x( + q).

С математической точки зрения корреляционной функцией называют среднее по времени произведения двух значений случайной величины x( ) и x( + q), т.е.

Поскольку вид корреляционной функции определяется видом случайной функции, то естественно, что для различных случайных функций получаются разные корреляционные функции. При исследовании конкретного случайного процесса для всех его реализаций получается одна корреляционная функция.

Корреляционная функция R(0) имеет следующие свойства:

1. Значение корреляционной функции при q=0, т.е. R(q)|_q₌₀= R(q), равняется среднему по времени значению квадрата случайной функции, т.е.

2. Значение корреляционной функции при q = ¥ равно квадрату среднего значения по времени случайной функции x( ), т.е.

R(q)|_q₌_¥ = R(¥ ) = x².

3. Значение корреляционной функции R(q) при любой величине q равно или меньше значения функции R(0) при q ¹ 0, т.е.

R(q) < R(0).

4. Чем более инерционен объект, через который проходит случайный сигнал, тем при прочих равных условиях R(q) будет больше.

5. Корреляционная функция R(q) является четной функцией q, т.е.

R(q) = R(-q).

Справедливость указанных свойств вытекает из самого определения корреляционной функции.

При рассмотрении каких-либо двух стационарных процессов пользуются понятием взаимной корреляционной функции, определяемой следующим выражением

где x₁(τ ) и x₂(τ +q) — две случайные функции рассматриваемых стационарных процессов.

Если корреляционную функцию отнести к ее значению при q = 0, то это отношение называют нормированной корреляционной функцией:

Другой важной характеристикой случайного стационарного процесса служит так называемая спектральная плотность S(w).

Понятие о спектральной плотности связано с разложением графика стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, подобно обычному преобразованию Фурье.

Применение функции S(w) при расчетах САУ, находящихся под воздействием случайных величин, позволяет применять частотные методы анализа.

Математическое определение спектральной плотности случайной функции x(t) имеет следующий вид:

Аналогично вводится понятие взаимной спектральной плотности:

Принимая во внимание понятие взаимной корреляционной функции, можно установить связь между ней и спектральной плотностью:

поскольку предел произведения x₁( )× x₂( + q) характеризуется взаимной корреляционной функцией R_{1, 2}(q).

Следует заметить, что с чисто математической точки зрения:

S_{1, 2}(w) = S_{2, 1}(-w).

Согласно определению интеграла Фурье находится обратная формула:

Положив в этом выражении q = 0, можно записать:

В соответствии со свойством корреляционной функции R(0) = можно записать:

Последнее выражение позволяет по спектральной плотности случайной функции x(t) определить среднее значение квадрата случайной функции.

Пример

Определить дисперсию сигнала на выходе апериодического звена (рис. 18.1.) при подаче на его вход белого шума со спектральной плотностью равной S_f.

— передаточная функция звена.

Рис. 18.1. Прохождение белого шума через динамическое звено

Решение

Из приведенной формулы следует, что при увеличении коэффициента передачи (К) динамического элемента САУ дисперсия на выходе этого элемента возрастает в квадратичной зависимости, а увеличение инерционности (Т) приводит у уменьшению дисперсии в гиперболической зависимости.

Заключение

Изложенные в 18-ти предыдущих лекциях математические методы анализа и синтеза систем автоматического управления технологическими процессами и отдельными агрегатами позволяют исследовать и проектировать системы управления различными технологическими процессами.

Например, технология тепловой обработки строительных изделий может быть оснащена эффективными системами автоматического управления, которые обеспечивают повышение качества готовой продукции при минимальных затратах тепловой энергии.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒