ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

Момент инерции тела J является одной из основных характеристик тела при его вращательном движении. Он играет роль, аналогичную роли массы m тела при поступательном движении – является мерой инертности вращающегося тела. Однако если масса тела в рамках механики Ньютона постоянна, момент его инерции зависит от расположения оси вращения в нём.

Моментом инерции J материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения, называется величина:

J = m·r² (1)

Из этого соотношения видно, что момент инерции J измеряется в единицах кг·м².

Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения определяется суммой моментов инерции материальных точек, имеющих массы Dm_i и находящихся на расстоянии r_i от оси, на которые разбивается это тело (рис.1):

(2)

В интегральной форме уравнение (3) выглядит следующим образом:

(2a)

Здесь dm – элемент массы тела, находящийся на расстоянии r от оси вращения. Интегрирование производится по объёму V тела.

Способ разбиения тела на материальные точки очевиден из рис.1. Если тело имеет правильную симметричную форму, момент инерции J относительно оси OO, проходящей через центр инерции, вычисляется аналитически. Так, например, момент инерции диска, имеющего массу m и диаметр D относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, вычисляется по формуле (рис.1, случай 1):

(3)

Относительно произвольно расположенной оси O’O’ центр инерции вычисляется с использованием теоремы Штейнера:

(4)

Момент инерции тела J относительно любой оси равен моменту инерции этого тела J_o относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной данной, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями (рис.1, случаи 2 и 3).

Вычисление момента инерции тела произвольной формы с использованием формул (2) и (2а) оказывается зачастую невозможным. Поэтому на практике для определения J широко применяются различные экспериментальные методы. В основе всех таких методов лежит изучение зависимости некоторой физической величины от момента инерции J тела. Одним из них является метод крутильных колебаний тела, вращающегося на упругой подвеске (рис.2).

Если к телу, висящему на упругой нити, приложить касательную силу F, т.е. повернуть его на некоторый угол j, то в нити возникнет вращающий момент М = t·j , и, после прекращения действия силы, тело придёт в движение. Величина t является упругой характеристикой материала подвеса при его деформации кручения и может быть названа модулем кручения. Значение t постоянно для данного материала при условии его упругой деформации. Уравнение вращательного движения тела записывается следующим образом:

(5)

Поскольку под действием вращающего момента М тело движется к положению равновесия, то в данном случае М = ^_t·j . Знак “-” в этой формуле означает, что тело движется в сторону, противоположную приложенной к нему силе F, т.е. к положению равновесия. Уравнение (5) с учётом выражения для М принимает вид:

(6)

или:

(6а)

Последнее соотношение представляет собой уравнение свободных гармонических колебаний. Решением его является функция:

j = j_o·sin(w_o·t·+ a_o) (7)

где - циклическая (круговая) частота колебаний, j_о и a_о - постоянные, определяемые из начальных условий. Период крутильных гармонических колебаний, соответственно, равен:

(8)

Таким образом, задача экспериментального определения момента инерции тела J сводится к измерению периода его крутильных колебаний Т и использованию формулы (8) при условии, что величина модуля кручения t известна и постоянна при данных условиях эксперимента (что выполняется не всегда).

Для нахождения модуля кручения t данного подвеса (нити) достаточно измерить периоды колебания Т ряда тел, моменты инерции J которых известны. Если построить график зависимости Т² от J (рис.3):

, (9)

то видно, что угловой коэффициент k полученной прямолинейной зависимости определяется выражением:

По величине углового коэффициента k (определяемого как тангенс угла наклона на графике зависимости Т² от J ) можно вычислить модуль кручения материала подвеса t:

(10)

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒