Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей

Помимо определения точечных значений оценок параметров нелинейных эконометрических моделей в эконометрических исследованиях большое внимание уделяется и поиску их интервальных характеристик, по величине которых можно судить о качестве построенного варианта эконометрической модели. Напомним, что совокупность интервальных характеристик параметров линейных эконометрических моделей можно определить на основе элементов ковариационной матрицы их оценок, определенных для независимых и гомоскедастичных ошибок выражением (2.18)

 

Cov(a)= s_e ² × ( X ¢ × X )^–1,

 

где Х – матрица значений независимых параметров.

Для нелинейной эконометрической модели в аналитическом виде получить аналог выражению (2.18) не представляется возможным. Однако можно определить некоторое приближение ковариационной матрицы оптимальных оценок параметров модели в области минимума суммы квадратов ошибки. Для этого разложим нелинейный функционал модели в окрестности точки оптимума параметров a _* в ряд Тейлора. В результате в соответствии с выражениями (11.19)–(11.23) получим

 

 

где f _* – вектор расчетных значений функционала f ( a, х ) в точке параметров a _*, принадлежащей окрестности оптимума; Х _* – матрица производных ¶ f_t /¶a_i, определенная согласно выражению (11.21) в точке a _*, h – ошибка разложения.

Перепишем выражение (11.34) в следующем виде:

 

g =

 

где вектор g определяется согласно выражению:

 

g = у – f _*( a, х )+

 

Несложно заметить, что все компоненты вектора g в точке a _* известны. Из этого вытекает, что в окрестности оптимума нелинейная эконометрическая модель может быть представлена в линейной форме записи (11.35).

В соответствии с этим, согласно выражению (2.18), ковариационная матрица оптимальных оценок параметров модели a может быть представлена в следующем приближенном виде:

 

Cov(a)= s_h² ×

 

Приближенный характер матрицы Cov(a) обусловлен использованием аппроксимирующего приближения Тейлора для нелинейной модели и соответствующей ему точки a _* из окрестности оптимума (а также матрицы ). В этом случае, также как и в случае выражения (2.34), можно показать, что найденные оценки a при Т®¥ являются приблизительно состоятельными, а их распределение является асимптотически нормальным

 

( a,

где

 

Вопросы к главе XI

1. Каковы причины нелинеаризуемости моделей?

2. По каким признакам классифицируются методы оценки параметров нелинейных моделей?

3. Охарактеризуйте методы с производными и методы без производных?

4. Опишите процедуру прямого поиска.

5. В чем состоит суть методов Гаусса?

6. Опишите градиентные методы оценки параметров нелинейной модели и особенности представления целевой функции.

 

Упражнения к главе XI

Задание 11.1

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

y=f(x)+e=a× e^bx+e.

 

Требуется разложить функцию f(x) в ряд Тейлора второго порядка в точке x₀=0 и определить, чему равен предел разложения в ряд n-го порядка при n®¥?

 

Задание 11.2

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

 

Требуется записать систему нормальных уравнений для определения оценок параметров a₀, a₁ и a₂.

Задание 11.3

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

 

Требуется записать “псевдолинейную” модель.

 

Задание 11.4

Имеется нелинейная однофакторная регрессионная модель

 

 

где e_t~(0, s²).

Требуется:

1. Вывести рекурсивные формулы для алгоритма Ньютона-Рафсона.

2. Показать, что выполняется следующее равенство:

где S – сумма квадратов остатков.

 

Задание 11.5

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

где e_t~N(0, s²).

Требуется показать, что оценка параметра a по методу максимума правдоподобия совпадает с оценкой a, определенной с использованием нелинейного МНК в модели

 

где e_t~(0, s²).

 

 

Задание 11.6

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

 

где e_t распределена по закону Коши с функцией плотности f(z)=1/p(1+z²).

Требуется построить алгоритм метода максимального правдоподобия Ньютона-Рафcона.

 

Задание 11.7

В результате оценивания по методу наименьших квадратов получается следующая линейная регрессионная модель:

 

y_t=4x_1t+0, 5x_2t+е_t

с ковариационной матрицей

 

Сov ( a )=

Требуется:

1. Рассчитать значение статистики Вальда для следующих нулевых гипотез:

а) H₀ : a₁× a₂=1;

б) H₀ : ln(a₁)+ln(a₂)=0.

Проанализировать взаимоотношения между двумя гипотезами и соответствующими тестами.

2. Написать псевдолинейную модель для оценки приведенной в условии модели в предположении, что верна гипотеза а) из п. 1. Описать, как можно вычислить значение критической статистики в тесте множителей Лагранжа применительно к полученному результату.

3. Вычислить значение статистики в тесте отношения правдоподобия для модели с ограничением, если сумма квадратов остатков в модели без ограничения равна 500, в модели с ограничением – 510, а величина выборки Т=40.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D.3. Системы эконометрических уравнений
2. Алгоритм построения групповой оценки на основе индивидуальных оценок экспертов
3. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
4. Балльная структура оценки и шкала оценок
5. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ ДРЕВЕСИНЫ
6. Виды моделей и моделирования
7. Влияние паразитных параметров на выходной импульс
8. Вопрос№10. Монополия как рыночная структура: качественные и количественные характеристики.
9. Второй этап. Определение системы параметров.
10. Выбор закона регулирования и параметров настройки регулятора
11. ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ВЕРТЛЮГА.
12. Выбор программного обеспечения для создания 3D-моделей рукояток