Синусоидальный ток в емкости

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Емкостью обладают любые два тела способные нести на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды, а называется емкостью отношение абсолютной величины заряда на одном из тел к напряжению между ними: С=q/u. Поскольку q и u пропорциональны друг другу, то С от них не зависит, а зависит от формы и геометрических размеров тел, их взаимного расположения и от свойств среды, в которой они находятся. Устройства, предназначенные для получения определенной величины емкости называются конденсаторами.

Р ассмотрим идеализированную цепь, обладающую только емкостью (рис.3.10). Пусть подведенное к ней напряжение изменяется по закону синуса: u = U_msinwt. Тогда заряд q = Cu = CU_msinwt, т.е. заряд также изменяется по синусоидальному закону. Это означает, что в цепи течет ток

Таким образом, если к емкости подвести синусоидальное напряжение, то ток в цепи также будет синусоидальным, который опережает напряжение на 90^о по фазе и имеет амплитуду

I_m=wCU_m. (1)

Для перехода к действующим значениям поделим (1) на , тогда получим:

где имеет размерность Ом и называется реактивным сопротивлением ёмкости или ёмкостным сопротивлением [x_C] = .

Таким образом, ёмкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и величине ёмкости. С увеличением частоты возрастает скорость изменения напряжения, а значит и ток. При f=0 (постоянный ток) x_C=∞, т.е. ёмкость не пропускает постоянный ток.

Изобразим график мгновенных значений напряжения и тока (рис.3.11, а), а также покажем векторную диаграмму цепи (рис.3.11, б).

32.-33.

Резонанс в электрической цепи может быть двух видов: резонанс то-

ков или резонанс напряжений.

Резонанс напряжений – явление, происходящее в сколь угодно слож-

ном пассивном двухполюснике, содержащем реактивные элементы разного

характера, при котором на некоторой частоте

ω ≠ 0 входное реактивное

сопротивление этого двухполюсника 0 Xвх

=. Как можно заметить, вход-

ной ток и напряжение при этом совпадают по фазе. Последнее условие

легко вывести, принимая во внимание, что разность фаз входного тока и

напряжения равна фазе входного сопротивления (см. уравнение (5.14)). А

фаза комплексного числа, каким является Zвх

, равна арктангенсу отноше-

ния его мнимой и действительной частей:

Другими словами, чтобы входной ток и напряжение сопадали по фа-

зе, необходимо, чтобы входное сопротивление было чисто действитель-

ным.

Резонанс токов – явление, происходящее в сколь угодно сложном

пассивном двухполюснике, содержащем реактивные элементы разного ха-

рактера, при котором на некоторой частоте

ω ≠ 0 входная реактивная

проводимость этого двухполюсника 0 Bвx.

34.-36.

Соединим последовательно лампу накаливания с сопротивлением R, батарею конденсаторов с емкостью С и катушку с большой индуктивностью L. Если данную цепь присоединить к зажимам генератора переменного тока, то лампа загорится, что свидетельствует о наличии электрического тока в цепи, несмотря на разрыв, существующий между изолированными друг от друга обкладками конденсатора.
Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, С (см. рисунок) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

Здесь ток во всех трех участках один и тот же:

Разности потенциалов на всех трех сопротивлениях имеют вид:

Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости.
Вектор Um и его проекции.

Расположим под углом относительно оси абсцисс вектор Um, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.
Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, С.
Векторные диаграммы для идеальных элементов R, L, C.

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме.
Векторные диаграммы сложения двух напряжений

В расчетах применяют три формы записи комплексных величин:

1) алгебраическая
2) тригонометрическая
3) показательная, учитывая

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90° в положительном направлении (против часовой стрелки).
Переходы из одной формы записи в другие:

где

Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, С в комплексном виде записывается следующим образом:

Используя выражения , запишем выражение для полного напряжения цепи:

где
- комплексное сопротивление;
- комплексная амплитуда напряжения;
- комплексная амплитуда тока.
При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

Величину Z называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

Векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательным соединением R, L, C будет представлять собой прямоугольный треугольник.
Треугольник напряжений

Треугольники токов, сопротивлений и мощностей строятся аналогично

Полная мощность S = UI;
активная мощность
реактивная мощность
где

В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол сохраняет свое значение.
При параллельном соединении ветвей их проводимости складываются в комплексной форме:

Общий ток, согласно первому закону Кирхгофа:

37.

Рис. 2.19

При рассмотрении цепей синусоидального тока до сих пор учитывалось только явление самоиндукции катушек, обусловленное током в цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС между двумя (и более) взаимно связанными катушками, называются индуктивно связанными цепями. Рассмотрим явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении тока в другом.

Контуры (рис. 2.19) представляют собой плоские тонкие катушки с числами витков и . Поток самоиндукции , созданный током , может быть представлен в виде потока рассеяния , пронизывающего только первый контур, и потока , пронизывающего второй контур

= + .

Аналогично определяем поток самоиндукции второго контура

= + .

Потоки и называют потоками взаимной индукции. Их принято обозначать двумя индексами: первый индекс указывает, с каким контуром сцепляется поток, второй – номер тока, вызвавшего данный поток. Например, поток вызван током , сцепляется с первым контуром. Если направление потока взаимной индукции совпадает с направлением потока самоиндукции данного контура, то говорят, что магнитные потоки и токи контуров направлены согласно. В случае противоположного направления говорят о встречном направлении потоков. Суммарные потоки, пронизывающие первый и второй контуры

= ± ; = ± ,

где «+» соответствует согласному направлению потоков, «–» – встречному направлению.

Полные потокосцепления первого и второго контуров

(2.48)

(2.49)

Отношение потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой называется взаимной индуктивностью

Для линейных электрических цепей всегда выполняется равенство

Взаимная индуктивность двух катушек зависит от числа витков, геометрических размеров магнитопровода и взаимного расположения катушек, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды (материала магнитопровода). Индуктивную связь двух катушек характеризуют коэффициентом связи

Этот коэффициент всегда меньше единицы, так как магнитный поток взаимной индукции всегда меньше потока самоиндукции и может быть увеличен за счет уменьшения потоков рассеяния бифилярной намоткой катушек (двойным проводом) или применением для магнитопровода материала с высокой абсолютной магнитной проницаемостью.

ЭДС взаимной индукции

ЭДС, индуктируемые в первом и втором контурах, с учетом (2.48, 2.49) можно записать в виде

Таким образом, ЭДС каждой катушки определяется алгебраической суммой ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Для определения знака ЭДС взаимной индукции размечают зажимы индуктивно связанных элементов цепи. Два зажима называют одноименными, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Такие выводы обозначают на схемах одинаковыми условными значками, например, точками или звездочками (рис. 2.20 а, б). Одинаково направленные токи и (рис. 2.20 а) относительно зажимов и вызывают совпадающие по направлению потоки самоиндукции ( ) и взаимной индукции ( ). Следовательно, зажимы и являются одноименными. Одноименной является и другая пара зажимов и , но условными значками обозначают только одну пару одноименных выводов, например, и (рис. 2.20 а). Если токи и направлены неодинаково относительно одноименных зажимов (рис. 2.20 б), то имеет место встречное направление потоков самоиндукции и взаимоиндукции.

На схемах магнитопроводы, как правило, не показывают и ограничиваются только обозначением одноименных зажимов (рис. 2.20 в, г).

Одноименные зажимы можно определить опытным путем. Для этого одну из катушек включают в цепь источника постоянного тока, а к другой присоединяют вольтметр постоянного тока. Если в момент подключения источника стрелка измерительного прибора отклоняется, то зажимы индуктивно связанных

Рис. 2.20

катушек, подключенные к положительному полюсу источника и положительному зажиму измерительного прибора, являются одноименными.

Определим знаки ЭДС и напряжения взаимной индукции. Допустим, первая катушка (рис. 2.20 а) разомкнута, а во второй протекает ток . Выберем положительные направления для одинаковыми относительно одноименных зажимов. ЭДС и напряжение взаимной индукции равны, но противоположны по знаку. Действительно, когда 0, потенциал зажима b больше потенциала зажима а, следовательно, 0.

По правилу Ленца знаки и всегда противоположны, поэтому

В комплексной форме уравннеие имеет вид

(2.50)

При встречном включении катушек (рис. 2.20 б)

. (2.51)

Из (2.50) и (2.51) видно, что вектор напряжения на взаимной индуктивности сдвинут по фазе относительно вектора тока на угол ±90°.

Сопротивление называется сопротивлением взаимной индуктивности, а – комплексным сопротивлением взаимной индуктивности.

Таким образом, при согласном направлении токов падение напряжения на взаимной индуктивности имеет знак «плюс», при встречном – знак «минус».

38.

Трехфазная система электрических цепей представляет собой совокупность электрических цепей, в которых действуют три синусоидальные
Э.Д.С. одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником питания.

Если все три Э.Д.С. равны по значению и сдвинуты по фазе на 1200 по отношению друг к другу, то такая система Э.Д.С. называется симметричной.

Часть трехфазной системы электрических цепей, в которой может протекать один из токов трехфазной системы, называется фазой. Фазой является обмотка генератора, в которой индуцируется Э.Д.С. и приемник, присоединенный к этой обмотке.

Трехфазная система Э.Д.С. создается трехфазными генераторами. В неподвижной части генератора (статоре) размещают три обмотки, сдвинутые в пространстве на 1200. Это фазные обмотки, или фазы, которые обозначают
А, В, С, концы обмоток обозначают X, Y, Z. На вращающейся части генератора
(роторе) располагают обмотку возбуждения, которая питается от источника постоянного тока. Так обмотки возбуждения создают магнитный поток Фо, постоянный (неподвижный) относительно ротора, но вращающийся вместе с частотой n. Вращение ротора осуществляется каким-либо двигателем.

При вращении ротора, вращающийся вместе с ним магнитный поток пересекает проводники обмотки статора (А-X, B-Y, C-Z) и индуцирует в них синусоидальные Э.Д.С.
LA= Em sin Wt
LB= Em sin (Wt - [pic])
LC= Em sin (Wt + [pic])

39.

Соединение приемников электрической энергии в «звезду».

При использовании трехфазных систем питания трехфазных потребителей электроэнергии соединение фаз источника и потребителя выполняется обычно по схеме «звезда» или «треугольник».

При соединении фаз трехфазного источника питания или потребителя энергии «звездой» концы фаз источника X, Y, Z или приемника x, y, z объединены в общую нейтральную точку N, а начала фаз подключаются к соответствующим линейным проводам.

Напряжения Ua, Ub, Uc, действующие между началами и концами фаз, являются его фазными напряжениями. Напряжения Uab, Ubc, Uca, действующие между началами фаз потребителя, являются линейными напряжениями.

При соединении в звезду справедливо равенство линейных и фазных токов, m. In = If; IA = Ia; IC = Ic.

Для симметричной трехфазной цепи и для трехфазной четырехпроводной цепи. Номинальное (линейное) напряжение в [pic] раз больше фазного.

[pic], т.е. [pic]; [pic]; [pic].

Токи в фазах определяют по закону Ома для цепей переменного тока:

[pic]; [pic]; [pic]; [pic]

Активная Р, реактивная Q и полная мощности потребителя электрической энергии определяют как сумму соответствующих фазных мощностей

P = Pa + Pb + Pc Pф=Iф2 Rф, Qф2=Iф2 X2, Qфс= -Iф2

Q=Qa+Qв+Qc Qф=QL+Qc

[pic]

В трехфазной четырехпроводной цепи ток в нейтральном проводе определяется на основании первого закона Кирхгофа IN= Ia + Ib + Ic, как векторная сумма фазных токов. При несимметричной нагрузке обрыв нулевого провода (ZN=() вызывает значительное изменение токов и фазных напряжений, что в большинстве случаев недостижимо. Поэтому в нулевой провод предохранители не устанавливают.

При наличии нулевого провода фазные напряжения будут одинаковы UA = UB

= UC.

3. Соединение приемников электрической энергии в «треугольник».

Соединение, при котором начало одной фазы потребителя электроэнергии (или источника питания) соединяется с концами другой его фазы, начало которой соединено с концом третьей фазы, а начало третьей фазы – с концом первой фазы (при этом начала всех фаз подключаются к соответствующим линейным проводам), называется треугольником. При соединении «треугольником» фазные напряжения оказываются равными линейным

Uф = Uл. При симметричной системе питания Uab=Ubc=Uca=UAB=UBC=UCA=Uф=Uл.

При симметричной нагрузке линейные токи в [pic] раз больше фазных: Iл =

[pic].

При несимметричной нагрузке линейные токи равны векторной разности фазных токов соединенных с данным линейным проводом: IA = Iab – Ica; IB =
Ibc – Iab; IC = Ica – Ibc.

Методические указания к решению задач 1 и2.

Решение задач этой группы требует знания учебного материала
«Трехфазные электрические цепи». Е.С. Попов Теоретическая электротехника,
12.1 – 12.12. А.Г. Морозов. Электротехника, электроника и техника 4.1 -
4.5.

Иметь представление об особенностях соединения источников и потребителей в «звезду» и «треугольник», соотношения между линейными и фазными токами и напряжениями, а также умения рассчитывать нагрузку фазы и строить векторные диаграммы при симметричной и несимметричной нагрузках.

40.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒