Математические модели в финансовых операциях

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 18Следующая ⇒

Математические модели широко используются не только при описании общих закономерностей функционирования денежной сферы, но и в различных финансовых операциях. С помощью количественного анализа финансовых операций и применяемых в нём математических моделей решается множество разнообразных задач – от начисления процентов до анализа сложных кредитных операций, от выбора инвестиционных проектов, до принятия решений по управлению портфелем ценных бумаг.

Большой класс моделей составляют так называемые математические модели финансовых вычислений. Эти модели являются предметом такой дисциплины как финансовая математика. По сути, большинство из этих моделей представляют совокупность методов расчета, позволяющих количественно оценить результат той или иной финансовой операции. Сюдя относятся:

1. Модели и методы, позволяющие производить расчеты процентов (простых и сложных) в различных ситуациях, а также дисконтирование и учет. Эту группу моделей и методов мы рассмотрим подробнее ниже.

2. Модели и методы, позволяющие производить анализ потоков платежей, распределенных во времени, таких как выплаты по погашению кредита, дивиденды, формирование и выплата пенсионных накоплений и страховых взносов и др.

3. Модели и методы, позволяющие оценивать эффективность операций с валютой.

4. Модели, используемые при анализе финансовых последствий изменений условий контракта (отсрочка платежа, досрочное погашение долга и пр.).

5. Методы расчета амортизационных отчислений.

6. Модели, используемые для выбора наилучшего варианта вложения средств на основе анализа эффективности инвестиционных и коммерческих проектов.

7. Методы расчета доходности различных ценных бумаг и операций с ними.

8. Модели и методы, применяемые в страховании, и отражающие механизм образования и расходования страхового фонда (т.н. актуарные рачеты).

Рассмотрим подробнее первые два типа моделей, вязанных с расчетом простых и сложных процентов, а также дисконтированием.

В практических финансовых или коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или выплат.

Фактор времени играет огромную роль и определяется принципом неравноценности денег, относящимся к разным моментам времени. Сегодняшние деньги ценнее будущих по следующим причинам:

· во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, т.е. деньги могут быть инвестированы, и тем самым принести доход. Рубль в руке сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;

· во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, т.к. цены на товар повысятся;

· в-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль в руке уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра в руке, - еще вопрос.

Очевидным следствием принципа неравноценности денег является неправомерность суммирования в финансовых вычислениях денежных величин, относящихся к разным моментам времени.

Учет фактора времени в финансовых вычислениях осуществляется с помощью начисления процентов.

Процентные деньги или просто проценты в финансовых расчетах представляют собой абсолютную величину дохода (приращение денег) от предоставления денег в долг в любой его форме: в виде выдачи денежной ссуды; продажи в кредит; сдачи в аренду; помещении денег на депозитный счет; учете векселей; покупке облигаций и т.п.

Таким образом, проценты можно рассматривать как абсолютную " цену долга", которую уплачивают за пользование денежными средствами. Однако абсолютные показатели чаще всего не подходят для сравнения и оценки ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. Поэтому в финансово-коммерческих расчетах широко пользуются относительными показателями, такими как процентная ставка - показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени.

Методика расчета процентной ставки проста: отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким образом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга.

Виды процентных ставок:

· Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.

· Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, - таким образом, исходная база постоянно увеличивается.

· Фиксированная процентная ставка - ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах.

· Постоянная процентная ставка - неизменная на протяжении всего периода ссуды.

· Переменная процентная ставка - дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.

· Плавающая процентная ставка - привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название " период начисления ", - это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час. В ряд случаев удобно применять так называемые непрерывные проценты.

После начисления процентов возможно два пути: либо их сразу выплачивать, по мере их начисления; либо отдать потом, вместе с основной суммой долга. Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма - наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, - это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется сроком финансовой операции.

Для рассмотрения формул, используемых в финансовой математике, необходимо ввести ряд условных обозначений:

I - проценты за весь срок ссуды (interest);

P - первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (present value);

i - ставка процентов за период (interest rate);

S - наращенная сумма;

n - срок ссуды в годах.

Часто в коммерческих расчетах применяют понятия:

· Проценты «со 100» - отношение суммы процентных денег к наращенной сумме;

· Проценты «на 100» - отношение суммы процентных денег к первоначальной сумме;

· Проценты «во 100» - отношение суммы процентных денег к разности между первоначальной суммой и суммой процентных денег.

Простые ставки процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (срок менее года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т.е. определения денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему.

При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов. Из определения процентов нетрудно заметить, что проценты представляют собой, по сути, абсолютные приросты:

I = S - P.

Поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды:

где - процентная ставка.

Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции.

Тогда наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:

Величина (1 + in) называется коэффициентом (множителем) наращения простых процентов.

Данная формула называется " формулой простых процентов". Для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби:

где n – срок ссуды в долях года

К – число дней в году (временная база)

t - срок операции в днях

Возможно несколько способов расчета простых процентов, различающиеся способом выбора t и K:

1. Обыкновенные или коммерческие проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360), или, как часто называют, " германская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца - за 30 дней. Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции.

2. Обыкновенные или коммерческие проценты с точным числом дней ссуды (365/360), или " французская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.

3. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365), или " английская практика расчета", когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.

Чисто формально возможен и четвертый вариант: точные проценты с приближенным числом дней ссуды, - но он лишен экономического смысла.

Если простые процентные ставки не остаются неизменными во времени, а изменяются дискретно, то формула наращения принимает вид:

Где i_t - ставка простых процентов в периоде с номером t,

n_t - продолжительность периода t - периода начисления по ставке i_t.

На практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р.

Расчет исходной суммы по заданной называется дисконтированием суммы S. Величина P, нйденная путем дисконтирования, называется современной величиной или текущей стоимостью суммы S. Нередко такой расчет называют приведением, а величину Р приведенной величиной.

Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом.

Проценты в виде разности

D = S-P

называют дисконтом или скидкой. Дисконт, как скидка с конечной суммы долга, может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

Таким образом, дисконтирование - приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:

· математическое дисконтирование по процентной ставке;

· банковский учет по учетной ставке.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы. Если в прямой задаче

то в обратной

Выражение называют дисконтным множителем. Он показывает, в частности, какую долю составляет первоначальная величина ссуды в окончательной сумме долга.

Банковский учет - второй вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу дисконт. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую обозначим d.

Простая годовая учетная ставка находится как:

Тогда размер дисконта, удерживаемого банком, равен:

а значит:

Множитель называется дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

Такм образом, различие в ставке процентов при математическом дисконтировании и учетной ставке при банковском учете заключается в различии базы для начислений процентов:

· в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

· в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:

P₂ = P₁(1 + n₁i)(1 - n₂d),

где P₁ - первоначальная сумма долга;

P₂ - сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ - общий срок платежного обязательства;

n₂ - срок от момента учета до погашения.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

· проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга; присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

· срок ссуды более года.

Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через два года P(1+i)(1+i) = P(1+i)², через n лет P(1+i)ⁿ.

Таким образом, получаем сумму наращения для сложных процентов:

S = P(1+i)ⁿ

где S – наращенная сумма;

i – годовая ставка сложных процентов;

n – срок ссуды.

К_нар = (1+i)ⁿ – множитель (коэффициент) наращения.

В практических расчетах в большинстве случаев применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

По сути, наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии со знаменателем (1+i).

При сроке операции менее года наращение по простым процентам дает бОльший результат, чем по сложным, и при сроке более года – наоборот. Данное правило не распространяется на ситуации, когда капитализация процентов происходит чаще, чем раз в год, что характерно для некоторых видов депозитов.

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет вид:

S = P(1+i₁)ⁿ¹(1+i₂)ⁿ²…(1+i_k)^nk.

В этом случае множителем наращения будет выражение (1+i₁)ⁿ¹(1+i₂)ⁿ²…(1+i_k)^nk.

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Ответ можно получить, приравняв множитель наращения величине N:

а) для простых процентов (1+ni_пр.) = N, откуда n = (N-1) / i_пр.

б) для сложных процентов (1+i_сл.)ⁿ = N, откуда n = ln N/ ln(1+i_сл)

Особенно часто используется N=2, тогда эти формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов n = 1 / i_пр,

б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+i_сл)

Если учесть, что ln2=0, 7, а ln(1+i_сл.)=i, то n=0, 7/i

В практических расчетах для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения сложных процентов иногда пользуются приближенным расчетом, известным как «правило 72»: если i – процентная ставка, выраженная в процентах, то исходная сумма удвоится за 72/i периодов.

Важно учесть следующее:

1. Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

2. При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

· общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

S = P(1 + i)ⁿ,

где n = a + b - период сделки;

a - целое число лет;

b - дробная часть года.

· смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года - формулу простых процентов:

S = P(1 + i)^a(1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

· в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. S = P(1 + i)^a

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления - номинальная ставка (j).

Номинальная ставка (nominal rate) - годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка: во-первых, не отражает реальной эффективности сделки; во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга - n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит N = nm

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

S = P(1 + j / m)^N = P(1 + j /m)^mn,

где j - номинальная годовая ставка процентов.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты начисляются по сложной ставке m раз в год, то можно записать равенство для множителей наращения:

(1+i_э)ⁿ = (1+j/m)^mn,

где i_э – эффективная ставка;

j – номинальная.

Тогда выражение для определения эффективной ставки через номинальную будет иметь вид:

i_э = (1+j/m)ⁿ – 1.

Понимание роли эффективной процентной ставки важно для анализа финансовой деятельности предприятия. В рекламных проспектах обычно ресь идет о номинальной процентной ставке, которая может существенно отличаться от эффективной.

Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета: математический и банковский.

При математическом учете решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу наращения, и из нее найдем Р:

P = S/(1+i)ⁿ = Svⁿ

где

vⁿ = 1/(1+i)^-ⁿ

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются m раз в году, то

P= S/(1+j/m)^mn = Sv^mn

где

v_mn = 1/(1+j/m)^-^mn

учетный или дисконтный множитель.

Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.

Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент. Разность
D = S – P называют дисконтом.

При банковском учете предполагают использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

где d_сл – сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае определяется

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий приод на величину дисконта.

В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Тогда процесс дисконтирования описывается формулой:

Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

⇐ Предыдущая 9 10 11 12 13 14 151617 18 Следующая ⇒