Называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов.

В экономическом анализе часто применяются функции затрат на производство одного продукта:

x_ij= φ _ij (y_j) (3.3)

Ниже будет показано, что функции производственных затрат могут интерпретироваться как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами.

Как уже было отмечено, производственные функции и функции производственных затрат применяются в анализе производственных процессов на различных уровнях национальной экономики. С помощью производственных функций можно оценить эффективность функционирования производственной системы и использования в ней ресурсов, спрогнозировать влияние вносимых изменений и инноваций в производство, выбрать оптимальную стратегию эволюции производственных систем.

Хотя при этом могут использоваться однотипные математические описания, содержательный смысл и способы построения производственных функций (функций производственных затрат) на разных уровнях экономической системы существенно различаются.

На микроэкономическом уровне рассматриваемые математические модели являются описаниями конкретных (элементарных) технологий и выводятся из соответствующих технологических (инженерных) данных.

Производственные же функции (функции производственных затрат) сложных объектов (предприятий, отраслей, регионов, народного хозяйства в целом) являются математическими моделями, характеризующими абстрактные технологии, т.е. обобщенные зависимости между затратами ресурсов и выпусками продукции.

Прямой переход от моделей конкретных технологий к модели абстрактной технологии трудно осуществим из-за различий «языков» моделирования простых и сложных производственных объектов. В тех сравнительно редких случаях, когда объекты микро- и макроуровней описываются сходными математическими моделями, производственные функции (функции производственных затрат) сложных объектов могут строиться путем агрегирования соответствующих функций более простых объектов.

Как правило, построение обобщенной производственной функции (функции производственных затрат) представляет собой довольно сложную задачу моделирования абстрактной технологии. Здесь используются два основных подхода: оптимизационный и статистический. Эти подходы соответствуют двум основным типам моделей экономических объектов — структурным и функциональным.

Суть оптимизационного подхода состоит в том, что производственная функция (или функция производственных затрат) получается путем обобщения решений оптимизационной модели, в которой максимизируется объем производства конечного продукта при меняющихся условиях. Свойства построенной таким способом производственной функции определяются исходной оптимизационной моделью.

Статистический подход к построению обобщенных функций основан на обработке наблюдений о различных соотношениях затрат ресурсов и выпусков продукции. В математическом отношении он опирается на теорию корреляционного и регрессионного анализа. Процесс построения функции включает отбор существенных факторов, выбор вида функции (математической модели), статистическую оценку ее параметров, проверку статистической надежности. Найденная зависимость между затратами («входами») и выпусками («выходами») является функциональной моделью («черным ящиком») соответствующего производственного объекта.

Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами.

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции у= f(X) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях ресурсов, отличающихся тем, что затраты одних ресурсов больше, а других — меньше.

Рисунок 3.1. Изокванты производственной функции с взаимозаменяемыми ресурсами и изоклинали

При исследовании технологии с помощью ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами, помимо средней и предельной эффективности использования ресурсов определяются такие характеристики, как предельная норма эквивалентной замены ресурсов, эластичность выпуска по ресурсам и эластичность взаимозамены ресурсов.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат нескольких ресурсов выражается полным дифференциалом . Либо, в дискретном варианте: Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х° = (x⁰_i) выводятся из формулы

(3.9)

Либо, в дискретном варианте:

В частности, предельная норма эквивалентной заменяемости каких-либо двух ресурсов h и l определяется формулой:

(3.10)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль изокванты. Поэтому изокванту называют также кривой замещения.

Если затраты ресурса k увеличиваются, то для сохранения объема производства на прежнем уровне затраты ресурса l, как правило, можно уменьшить. Отсюда следует такое свойство изоквант: это убывающие функции по отношению к каждой оси (т.е. они имеют отрицательный наклон).

В пространстве двух ресурсов норма эквивалентной заменяемости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рис. 3.1 нормы эквивалентной заменяемости второго ресурса по отношению к первому в точках A₁, В₁ C₁ равны тангенсам углов γ _А, γ _B, γ _С

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рис. 3.1 изоклиналь I соединяет точки В₁, В₂, В₃, а изоклиналь II — точки С₁С₂, С₃.

Анализ закономерностей изменения предельных норм эквивалентной замены позволяет еще более конкретизировать форму изоквант. При увеличении использования ресурса l его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают все меньшее количество ресурса k. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов постоянно уменьшается.

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты являются графиками вогнутых функций (одной переменной относительно другой). Если эта особенность предельных норм эквивалентной заменяемости распространяется на множество всех т ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами: множества {X: f(X)≥ Q} выпуклы и изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат или параллельные им.

Для характеристики влияния каждого ресурса на рост производства, помимо показателей средней и предельной эффективности, используется также понятие эластичности выпуска от затрат различных ресурсов. Коэффициент эластичности δ _i показывает предельное отношение относительного прироста производства к относительному приросту затрат i-го ресурса:

(3.11)

В общем случае коэффициент эластичности — это непрерывная функция от X⁰. В экономических расчетах часто используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X⁰, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X⁰. Такие коэффициенты соответствуют формуле:

(3.12)

В теории производственных функций применяется также понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности замены ресурсов характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы эквивалентной заменяемости этих ресурсов. Или, иными словами, показывает процентное изменение соотношения затрат ресурсов при изменении предельной нормы их замещения на 1%:

(3.15)

Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности (σ _kl = + ∞ ) не существует никаких границ для взаимозаменяемости ресурсов. Наоборот, при нулевой эластичности (σ _kl = 0) возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном комплекте.

Рис. 3.4 Эластичность взаимозаменяемости ресурсов

На рис. 3.4 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности замены двух ресурсов в интервале 0 ≤ σ ≤ ∞. Прямоугольная ломаная ABC является изоквантой при (σ = 0). Сокращение одного ресурса нельзя компенсировать сколько угодно большим увеличением другого ресурса. Три изокванты имеют положительные эластичности σ ₁, σ ₂, σ ₃. При этом более выпуклые к началу координат изокванты соответствуют меньшим коэффициентам эластичности: σ ₁ < σ ₂ < σ ₃ (7з- Наконец, прямая АС представляет собой изокванту с бесконечной эластичностью замены ресурсов. Она имеет формулу a₁х₁ + a₂х₂=q, где а₁ и а₂— положительные числа. Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте не меняется:

Рассмотренные эластичности выпуска по ресурсам и эластичности взаимозамены ресурсов наряду с показателями общей эффективности ресурсов (" отдачи на масштаб" ) являются основными характеристиками абстрактной технологии.

3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми
ресурсами и функции производственных затрат

Наблюдаемые изменения в структуре используемых ресурсов часто объясняются не столько замещением ресурсов в рамках одной и той же технологии производства, сколько изменением самих технологий или сочетанием различных жестких технологий. В предельном случае (при нулевой эластичности замены ресурсов) мы получаем производственную функцию с взаимодополняемыми ресурсами.

Производственная функция с взаимодополняемыми ресурсами может быть выражена следующим образом:

(3.21)

где f_s(x_s) - объем производства, который может быть получен при использовании s-ro ресурса в количестве x_s при условии, что другие ресурсы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производства определяется узким местом, т.е. количеством такого ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства.

Изокванты функции (3.21) в пространстве двух ресурсов представляют собой прямые углы (рис. 3.3). Их расположение определяется тем, при каких минимальных затратах ресурсов достигаются определенные объемы производства. Кривые ОА₁А₂А₃ характеризуют минимальные затраты ресурсов, обеспечивающие различные объемы производства. Все точки изоквант, не лежащие на этих кривых, являются неэффективными комбинациями затрачиваемых ресурсов при любых разумных критериях эффективности.

б)

Рис. 3.3. Изокванты взаимодополняемых ресурсов:

а) постоянные соотношения затрат; б) изменяющиеся соотношения затрат

От функций (3.21) можем перейти к семейству обратных функций, характеризующих зависимости затрат от объемов производства, т.е. к функциям производственных затрат:

x_s =φ _s(y), (sÎ M) (3.22)

φ _s(y) — это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у.

Для анализа функций производственных затрат введем новые понятия: q_s — средние затраты s-ro ресурса; h_s — предельные затраты s-ro ресурса:

· cредние затраты рассчитываются по формуле q_s = x_s/y;

· предельные затраты h_s характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на " малую единицу": h_s = dx_s/dy.

В дальнейшем изложении индекс ресурса опускается; это позволяет интерпретировать получаемые результаты как относящиеся не только к определенному ресурсу, но и к совокупным производственным затратам (например, в ценностном выражении).

Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ (y).

I. Наиболее простой функцией затрат является линейная однородная, характеризующая производственные процессы с постоянной эффективностью затрат:

x = ay; a > 0 (3.23)

Средние и предельные затраты функции (3.23) постоянны и равны между собой: g=h=a.




Рис. 3.6. Линейная однородная функция (постоянная эффективность затрат)	Рис.3.7. Линейная неоднородная функция затрат

II. Линейная неоднородная функция включает две части затрат - пропорционально зависящие от объема производства и не зависящие от объема производства:

x = ay +b (3.24)

где а > 0 и b > 0.

Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а.

III. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат отражает положительный экономический эффект концентрации производства:

(3.25)

Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних.

Одним из простейших примеров функции (3.25) является х = ау^а при 0 < а < 1.


Рис. 4.8. Нелинейная функция возрастающей эффективности	4.9. Нелинейная функция падающей эффективности

I. Нелинейная функция падающей эффективности затрат характерна для отраслей, деятельность которых тесно связана с использованием природных ресурсов:

(3.26)

Для увеличения добычи минерального сырья, например, часто приходится переходить к эксплуатации месторождений, шахт, рудников с более сложными горно-геологическими условиями или с более бедным содержанием полезных компонентов. Поэтому средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних.

Примером может служить функция х = ау^а при а > 1.

II. Функции немонотонной эффективности затрат отражают часто встречающиеся в хозяйственной практике такие зависимости между затратами и выпуском продукции, которые объединяют признаки рассмотренных выше функций. Довольно типична такая ситуация: при увеличении производства эффективность затрат вначале возрастает (положительный эффект концентрации производства), но по достижении некоторого уровня производства эффективность начинает снижаться (из-за сложности управления, ухудшения условий производства, роста транспортных затрат и т.д.).

III.

IV. Рис. 3.10. Нелинейная функция немонотонной эффективности затрат

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒