Расчёт электрической цепи методом контурных токов

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Прежде, чем приступить к рассмотрению примера расчёта схемы методом контурных токов, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта в соответствии с .

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений. Метод контурных токов позволяет уменьшить число исходных уравнений, а значит несколько облегчить расчёт.

При расчёте методом контурных токов используются понятия не зависимого контура и зависимого контура, которые использовались в предыдущем методе. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

- собственный элемент контура - элемент, относящийся только к одному контуру;

- общий элемент контура - элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n-(К-1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом не зависимом контуре течёт собственный контурный ток, и вначале находят контурные токи в не зависимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n-(К-1)].

2. Выбирается [n-(К-1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно-положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах - как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивле-

ния. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n-(К-1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

- в собственных элементах контура ток равен контурному току;

- в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Пример применения метода контурных токов при расчёте электрических цепей рассмотрим на той же схеме (рис.6) и представим её на рис.11. Как рассматривалось выше, в этой схеме три независимых контура. Тогда в каждом независимом контуре выбираем направления контурных токов и показываем эти контурные токи.

Для дальнейшего удобства расчёта расставим в схеме условно-положительные направления токов и напряжений. Далее, в соответствии с п.4 «последовательности расчёта», для каждого независимого контура составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. В результате этих действий получаем систему (18) из трёх уравнений:

(18)

В полученных уравнениях раскрываем скобки и приводим подобные:

(19)

Из третьего уравнения системы (19) находим ток :

(20)

Подставляем выражение тока (20) во второе уравнение системы (19), в результате чего, после приведения подобных членов, эта система принимает вид:

(21)

Во втором уравнении системы (21) коэффициент при токе имеет довольно громоздкий вид. Для дальнейшего анализа будет удобно обозначить его какой-нибудь буквой, например , т.к. этот коэффициент имеет размерность сопротивления:

. (22)

Подставим численные значения в формулу (22) и найдём значение в алгебраической и показательной форме:

(23)

С учётом (22) система уравнений (21) принимает вид:

(24)

Из второго уравнения системы (24) найдём ток :

. (25)

Подставим выражение для тока (25) в первое уравнение системы (24) и после приведения к общему знаменателю, получим:

. (26)

Из уравнения (26) находим ток :

В полученное выражение для тока подставляем численные значения и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

Для определения тока воспользуемся формулой (25), подставляем в неё численные значения и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

Теперь определяем ток , для чего используем формулу (20). Здесь удобнее будет использовать ток в показательной форме. Подставляем численные значения в (20) и в результате очевидных преобразований получим значение в показательной и алгебраической форме:

После определения контурных токов переходим к определению токов в ветвях. В соответствии с методом расчёта токи в собственных ветвях контуров равны контурным токам этих контуров. В соответствии с этим находим токи и :

Токи в общих ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через эти ветви. Ток равен разности контурных токов и , так как они протекают через эту ветвь в противоположные стороны:

Подставляем численные значения контурных токов и в алгебраической форме и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

Ток равен разности контурных токов и , так как они протекают через эту ветвь в противоположные стороны:

Находим напряжения на элементах:

В.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒