Метод эквивалентного генератора

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Теорема об эквивалентном источнике часто применяется в расчетах электрических цепей. Метод, основанный на этой теореме, называется методом эквивалентного источника (генератора). С помощью этой теоремы сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником, благодаря чему расчет электрической схемы упрощается.

Теорему об эквивалентном источнике часто называют теоремой Гельмгольца, теоремой Тевенена(применительно к схеме замещения с источником напряжения) или теоремой Нортона(применительно к схеме замещения с источником тока).

Существует два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока [2, 3, 6].

Теорема об эквивалентном источнике напряжения: ток в любой ветви mn линейной электрической цепи не изменяется, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения; ЭДС этого источника должна быть равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви mn, а внутреннее сопротивление источника должно равняться входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны зажимов m и n при разомкнутой ветви mn.

Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь mn вводятся две равные по величине и противоположно направленные ЭДС при условии, что равно напряжению между зажимами m и n при разомкнутой ветви mn, т.е. напряжению холостого хода.

Рис. 3.8 Графическое изображение теоремы об эквивалентном источнике напряжения

Применение метода наложения в соответствии с рис.3.8 приводит к выводу, что ток в ветви R равен

, (3.19)

где R0 – комплексное сопротивление пассивной цепи П.

Ток в ветви R получается в предположении, что данная ветвь подключена к источнику напряжения, ЭДС которого равна , а внутренне сопротивление равно R0.

В соответствии с рис. 3.8 ток в какой-либо другой ветви заданной электрической цепи может быть получен в результате алгебраического сложения тока, проходящего через эту ветвь при разомкнутых зажимах mn, с током, возникающим в ней под воздействием ЭДС в ветви R (когда остальная ветвь пассивна). Поэтому, если известно распределение токов в электрической цепи при разомкнутой ветви R, то последующее распределение токов при включенной ветви находится весьма легко наложением на предыдущий режим тех токов, которые обусловливаются воздействием на пассивную цепь ЭДС в ветви R.

Для доказательства теоремы об эквивалентном источнике в ветвь вводились две противоположно направленные ЭДС, равные напряжению холостого хода на этой ветви. Такой же прием может быть применен одновременно и к двум ветвям любой сложности активной цепи. Тогда действительное токораспределение в цепи получится как сумма токораспределений в двух схемах:

1) в активной схеме при разомкнутых ветвях,

2) в пассивной схеме при питании ее из двух ветвей источниками ЭДС, равными напряжениям холостого хода на этих ветвях и направленными так же, как и токи, т.е. как напряжения холостого хода.

Указанный прием бывает удобен, когда известно токораспределение при режиме холостого хода для обеих ветвей. Тогда при размыкании этих ветвей достаточно лишь наложить токи, полученные из второй схемы с двумя ЭДС.

Теорема об эквивалентном источнике тока: ток в любой ветви mn (рис. 3.8) линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток этого источника должен быть равен току, протекающему между зажимами m и n, замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи со стороны зажимов m и n при разомкнутой ветви mn.

Рис. 3.9 Графическое изображение теоремы об эквивалентном источнике тока

Данное положение вытекает из условия эквивалентности источников напряжения и тока, а именно: источник напряжения, ЭДС которого равна напряжению холостого хода , а внутренне сопротивление равно R0 (рис. 3.9), может быть заменен источником тока

Последнее выражение есть не что иное, как ток, проходящий между зажимами m и n, замкнутыми накоротко (ток короткого замыкания). Искомый ток в цепи равен

где .

Если известно распределение токов в электрической цепи при закороченных зажимах mn, то распределение токов в цепи при включенной ветви R может быть найдено посредством наложения на предыдущий режим тех токов, которые получаются в результате присоединения источника тока к ветви R (когда остальная часть ветви пассивна).

При наличии в электрической цепи нескольких источников ЭДС и тока одинаковой частоты ток короткого замыкания является функцией от заданных ЭДС и токов источников.

Воспользовавшись теоремой об эквивалентном источнике, можно найти последовательную или параллельную схему замещения любого сколь угодно сложного линейного активного двухполюсника, поэтому данную теорему часто называют теоремой об активном двухполюснике.

Пример расчета электрической схемы методом эквивалентного генератора

Определим ток i1 в электрической схеме рис. 3.3, используя метод эквивалентного генератора. При проведении расчета будем придерживаться следующей последовательности действии:

· преобразуем источники тока в эквивалентные источники ЭДС;

· размыкаем первую ветвь с сопротивлением R1, получаем схему, приведенную на рис. 3.9;

· находим входное сопротивление относительно зажимов ad, исключив из схемы все источники ЭДС и оставив их внутренние сопротивления (рис. 3.10 а). Преобразуем треугольник, составленный из сопротивлений R2, R4, R6 в звезду по соотношениям

получим схему, приведенную на рис. 3.10 б. Тогда входное сопротивление относительно зажимов ad определяется по соотношению

Это сопротивление является внутренним сопротивлением пассивной цепи в соотношении (3.19), т.е. Rad = R0.

Рис. 3.9 Название

а б

Рис. 3.10 Название

· найдем напряжение на зажимах ad. После размыкания ветви с сопротивлением R1 в схеме рис. 3.10 а останется два контура, поэтому напряжение на зажимах ad находим по второму закону Кирхгофа в соответствии с соотношением

, (3.20)

а контурные токи в (3.20) определяем по методу контурных токов, составив систему уравнений из двух уравнений по второму закону Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 3.10 а

· рассчитав напряжение на зажимах ad, находим ток в первой ветви в соответствии с (3.19), где R = R1

(3.21)

Листинг программы расчета тока в первой ветви методом эквивалентного генератора в среде MathCAD

Метод сигнальных графов

Понятие графа, как отмечалось выше, используется при выборе независимых контуров для записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Однако графы используются не только для выбора контуров, но и для решения систем уравнений, записанных для электрической цепи. Для этой цели используются сигнальные графы.

Решение уравнений электрического равновесия сложных цепей даже в численном виде весьма трудоемко. При этом полезным может оказаться применение метода сигнальных графов, который позволяет упростить решение уравнений электрического равновесия линейных электрических цепей в аналитическом виде (символьной форме).

Сигнальный граф или направленный граф прохождения сигналов, представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений, описывающей процессы в электрической цепи.

Узлы (вершины) такого графа соответствуют входящим в эту систему неизвестным величинам (токам и напряжениям ветвей, контурным токам, узловым напряжениям) и величинам, характеризующим внешние воздействия на цепь (токам независимых источников тока, ЭДС независимых источников напряжения, контурным ЭДС, узловым токам).

Ветви сигнального графа отображают причинно-следственные связи между величинами, соответствующими отдельным узлам. Каждой ветви сигнального графа приписывается определенное направление и присваивается весовой коэффициент, который называется передачей ветви.

Узлы сигнального графа обозначают теми же буквами, что и соответствующие узлам величины; направления ветвей показывают стрелками, около которых указывают передачу ветви. Замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одном узле, называется контуром. Очевидно, что петля есть частный вид контура, в который входит одна ветвь.

Два контура или контур и путь называются соприкасающимися, если они имеют общие узлы. Если два контура или контур и путь не имеют общих узлов, то они являются несоприкасающимися.

Каждому сигнальному графу можно однозначным образом поставить в соответствие систему линейных алгебраических уравнений, составленных относительно сигналов зависимых узлов. Построение сигнального графа начинается с нанесения точек, соответствующих его узлам. Затем узлы графа в соответствии с системой уравнений, приведенной к причинно-следственной форме, соединяются между собой ветвями так, чтобы сумма сигналов всех ветвей, сходящихся в каждом узле, равнялась бы сигналу этого узла.

Истоком называется узел сигнального графа, от которого направлены все примыкающие к нему ветви. Узел сигнального графа, к которому направлены все примыкающие к нему ветви, называется стоком. Для повышения наглядности изображения рекомендуется истоки располагать в левой части чертежа, стоки в правой, а остальные узлы – между ними.

Если сигнал, соответствующий некоторому узлу сигнального графа не выражается через сигналы других узлов, то такой узел является независимым. Если сигнал, соответствующий какому-либо узлу, выражается через сигналы других узлов, то такой узел является зависимым. К независимым узлам относятся истоки, к зависимым – стоки и смешанные узлы.

Для построения сигнального графа необходимо сначала разрешить каждое уравнение системы относительно одной переменной (разной для разных уравнений).

Построим сигнальный граф для электрической цепи, описанной следующей системой уравнений и разрешенной относительно одной переменной

(3.22)

где tik – коэффициент передачи ветви; первый индекс i соответствует номеру узла, в который входит ветвь, а второй индекс k ‑ номеру узла, из которого она выходит.

Такой системе уравнений соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 3.11. В этом графе узлы соответствуют токам и источнику ЭДС , а ветви определяются коэффициентами передачи tik.

В каждом узле графа имеется сигнал, который передается от узла по всем ветвям, выходящим из него. При решении уравнений электрических цепей под сигналами понимаются токи и напряжения и т.п. При прохождении по ветви сигнал умножается на коэффициент передачи ветви. Результирующий сигнал в узле равен сумме всех сигналов, приходящих в данный узел по ветвям, входящим в этот узел.

Рис. 3.11. Название

Согласно первому уравнению системы (3.22) в вершину 1 должны входить ветвь с коэффициентом передачи t12, выходящая из вершины 2, и ветвь с коэффициентом передачи t13, выходящая из вершины 3 (рис. 3.11). Так как сигнал умножается в ветви на коэффициент передачи, то в вершину 1 по этим ветвям приходят сигналы и соответственно, так что, результирующий сигнал в вершине 1 удовлетворяет первому уравнению системы (3.22). Аналогичным образом строятся другие узлы и ветви сигнального графа, определяемые вторым и третьим уравнениями системы (3.22).

После построения сигнального графа для заданной системы уравнений решение сводится к вычислению коэффициентов передач графа.

Коэффициент передачи сигнального графа от источника, откуда только выходят ветви графа, к стоку, куда только входят ветви графа, называется отношение сигнала в стоке к сигналу в источнике. Узел 4 графа на рис. 3.11 является источником. Узел 1 не является стоком, но можно добавить узел 1 ^/ с сигналом и соединить его с узлом 1 ветвью с единичным коэффициентом передачи, что соответствует уравнению . Узел 1 ^/ является стоком, тогда коэффициент передачи от узла 4 к узлу 1 ^/

а зная передачу графа от узла 4 к узлу 1 ^/, можно определить ток

Существует два метода нахождения коэффициента передачи сигнального графа: последовательное упрощение направленного графа и вычисление по формуле Мейсона.

Метод упрощения сигнального графа основан на определенных преобразованиях, которые очень популярно описаны в литературе [2, 3]. Совместное проведение преобразований позволяет, как правило, существенно упростить структуру сигнального графа. Конечной целью преобразований обычно является получение наиболее простого графа, не допускающего дальнейших упрощений. Такой граф называется конечным. Конечный граф не содержит смешанных узлов, а включает в себя только стоки и истоки. Однако из-за своей громоздкости этот метод не нашел применения для расчета сложных электрических цепей.

Более удобно вычислять коэффициент передачи сигнального графа по формуле Мейсона

, (3.23)

где D ‑ определитель графа; ‑ величина k-го пути в графе от источника до стока; ‑ алгебраическое дополнение пути.

Суммирование выполняется по всем возможным путям. Путь в графе берется с учетом направления ветвей, т.е. идя от источника до стока необходимо все время идти в направлении стрелок. Величина пути равна произведению коэффициентов передач всех ветвей пути.

Определитель графа

, (3.24)

где ‑ величина i-го контура, равная произведению коэффициентов передач всех ветвей контура; i, n, m – номер контура.

Контуры выбираются так, чтобы все ветви в контуре были направлены в одну сторону. Звездочки у знака сумм означают, что следует брать произведения величин двух, трех и т.п. некасающихся контуров.

Алгебраическое дополнение вычисляется по той же формуле (3.24), но при этом следует учитывать во всех суммах лишь контуры, не касающиеся пути .

В качестве примера вычислим коэффициент передачи графа на рис. 3.11 от узла 4 к узлу 1 ^/. Определитель графа

. (3.25)

Все контуры касаются друг друга, поэтому в выражении определителя нет произведений контуров.

Величина k-го пути в графе от источника до стока (первого пути, т.е k = 1) равна , при этом , так как все контуры касаются пути ; величина второго пути от источника до стока (k = 2) равна и по той же причине.

Теперь остается подставить выражения определителя, величины путей и их алгебраические дополнения в выражение (3.23)

Пример расчета электрической схемы методом сигнальных графов

Определим ток i1 в электрической схеме рис. 3.3, используя метод сигнального графа. Этот метод позволяет провести расчет параметров схемы по любой системе уравнений, описывающих данную схему. Выбираем систему уравнений по методу на основе законов Кирхгофа (3.7). Решаем каждое уравнение этой системы относительно одной переменной

(3.26)

Для построения сигнального графа систему уравнений (3.26) запишем через формальные параметры коэффициента передачи

(3.27)

Фактические значения указаны в системе уравнений (3.26).

По системе уравнений (3.27) построим сигнальный граф (рис. 3.12).

По рис. 3.12 определяем все имеющиеся в сигнальном графе контуры и запишем их через значения коэффициентов передач ветвей контуров:

, , , , .

Вычисляем определитель сигнального графа

Рис. 3.12. Название

Рассчитываемый сигнальный граф имеет два истока, поэтому необходимо вычислить все пути от истока 1 до стока и от истока 2 до стока . От истока 1 до стока существует три пути, которые определим как произведение коэффициентов передач ветвей пути

, , .

От истока 2 до стока возможны два пути

, .

Для каждого в отдельности пути вычисляем алгебраическое дополнение, которое определяется по формуле (3.25) для контуров, не касающихся рассматриваемого пути

т.к. путь не касается ни одним узлом или ветвью контура с коэффициентом передачи ;

т.к. соответствующие пути для этих алгебраических дополнений касаются хотя бы одного контура графа.

По формуле Мейсона (3.23) найдем коэффициент передачи сигнального графа от истока 1 до стока

а ток определим как .

По той же формуле (3.23) вычисляем коэффициент передачи сигнального графа от истока 2 до стока

а ток определим как .

Искомое значение тока найдем как суммарное значение токов и

Листинг программы в среде MathCAD решение сигнального графа электрической схемы рис. 3.3

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒