Теорема обратимости (или взаимности)

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Пассивные линейные электрические цепи обладают важным свойством, известным под названием обратимости. Использование свойства обратимости пассивных линейных электрических цепей в ряде случаев упрощает расчеты. Основанная на этом свойстве теорема обратимости (или взаимности) может быть сформулирована в двух вариантах – применительно к источникам ЭДС и источникам тока. Ограничимся рассмотрением первого варианта.

Рис. 3.8 Теорема обратимости (вариант с источником ЭДС)

На рис. 3.8 условно показана электрическая цепь с выделенными контурами i и k. Электродвижущая сила в контуре i (рис. 3.8, а) вызывает ток в контуре k, который равен

Соответственно ЭДС в контуре k (рис. 3.8, б) вызывает ток в контуре i, который равен

Отсюда следует, что

Передаточная (или взаимная) проводимость Y_ik= Y_ki, так как общие сопротивления контуров заданной цепи не изменяются от перестановки индексов. Электрические цепи, для которых выполняется это условие, называются обратимыми цепями. Для таких цепей имеем

Если принять , то . Таким образом, для обратимых цепей справедливо следующее положение: если некоторая ЭДС, находящаяся в каком-либо контуре электрической цепи, вызывает ток в другом контуре данной цепи, то та же ЭДС, будучи перенесенной во второй контур, вызовет в первом контуре ток той же величины и фазы.

Если электрическая цепь удовлетворяет теореме взаимности (в любой формулировке), то говорят, что она обладает взаимностью (обратимостью). Электрические цепи, обладающие взаимностью, называются взаимными (обратимыми). Если электрическая цепь не обладает взаимностью, то она является невзаимной (необратимой). К необратимым цепям относятся, в частности, нелинейные цепи (элементы матриц контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей зависят от токов или напряжений ветвей) и цепи, содержащие зависимые источники (матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей, как правило, несимметричны относительно главных диагоналей).

При соответствующем выборе контурных токов ток в ветви равен контурному току. Поэтому данная теорема справедлива также для токов в ветвях.

Теорема компенсации

Токи в электрической цепи не изменятся, если любой участок цепи заменить ЭДС, равной по величине напряжению на данном участке и направленной навстречу току, проходящему по данному участку.

Справедливость этого положения, носящего название теоремы компенсации, вытекает из того, что любое из слагающих падения напряжений, входящих в уравнение по второму закону Кирхгофа, может быть перенесено в другую сторону уравнения с противоположным знаком, т.е. может рассматриваться как дополнительная ЭДС, направленная навстречу току.

а) б)

Рис. 3.9 Теорема компенсации

Уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное для схемы рис. 3, 9, а как , может быть представлено в виде . Этой записи уравнения соответствует схема рис. 3.9, б, в которой вместо сопротивления Z включена ЭДС , направленная противоположно току .

Данная теорема справедлива и для разветвленных электрических цепей. На рис. 3.10, а и 3.10, б показана возможность замены комплексного сопротивления Z источником ЭДС , действующим навстречу току , проходящему через сопротивление Z.

Вместо источника ЭДС может быть включен источник тока (рис. 3.10, в), обуславливающий протекание между узлами 1 и 2 того же тока, что и в схеме рис. 3.10, а; токи и напряжения в остальной части цепи при этом не меняются.

а) б) в)

Рис. 3.10 Замена пассивной ветви (а) зависимым источником ЭДС (б) или зависимым источником тока (в)

ЭДС или ток источника, заменяющего собой участок цепи, определяется в зависимости от тока, проходящего через данный участок. При изменении параметров остальной части цепи ток на данном участке в общем случае изменяется, и поэтому вышеуказанный источник не является самостоятельным источником, а представляет собой так называемый зависимый или неавтономный источник.

Применение теоремы компенсации облегчает изучение свойств линейных электрических цепей. Так, заменяя какой-либо участок цепи неавтономным источником ЭДС или тока и пользуясь методом наложения, легко убедиться в том, что напряжения и токи в остальной части цепи являются линейными функциями напряжения на данном участка или тока, проходящего через него.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒