Классификация цепей и особенности их расчета

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Е.А. Жиганова

К.К. Храмов

Линейные электрические цепи

Постоянного тока

Учебное пособие

к практическим и самостоятельным работам

По курсу «Электротехника»

Муром,

Оглавление

1. Основные понятия теории цепей..............................................

2. Классификация цепей и особенности их расчета....................

3. Методы и теоремы анализа и расчета цепей...........................

3.1 Метод расчета цепей на основе законов Кирхгофа..........

3.2 Метод контурных токов.....................................................

3.3 Метод узловых потенциалов.............................................

3.4 Матричный метод расчета электрической схемы.............

3.5 Метод наложения...............................................................

3.6 Теорема

3.7 Теорема

3.6 Метод эквивалентного генератора....................................

3.7 Метод сигнальных графов.................................................

4. Распределение потенциала вдоль контура цепи.....................

5. Понятие мощности и баланс мощности...................................

6 Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий

7. Задание на практическую работу............................................

Библиографический список..........................................................

Основные понятия теории цепей

В начале проведения любого анализа электрических схем необходимо изучить основные понятия и определения теории цепей, топологические параметры схемы, чтобы грамотно применить эти знания при расчете цепей и описании проведенных расчетов.

Электрическая цепь – это совокупность элементов и устройств, образующих путь для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий электродвижущей силы, напряжения и тока.

К источникам (первичным источникам) электрической энергии относятся различные устройства, в которых происходит преобразование химической, тепловой, механической и других видов энергии в электрическую. Источниками электрической энергии являются, например, гальванические элементы, аккумуляторы, солнечные батареи, гидрогенераторы и т. п.

Приемники электрической энергии – это элементы электрической цепи, в которых происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также ее запасание. Приемниками электрической энергии являются электрические двигатели, лампы накаливания, транзисторы, конденсаторы, индуктивные катушки, резисторы, передающие антенны, громкоговорители и др.

Особый класс электрических устройств представляют собой вторичные источники энергии, к которым относятся различные блоки питания, выпрямители, стабилизаторы, приемные антенны. В устройствах этого типа осуществляются различные преобразования электрических токов и напряжений, такие, как преобразование постоянного тока в переменный, выпрямление переменного тока, изменение напряжения и т. п. Вторичные источники получают электрическую энергию от первичных источников и относительно них являются приемниками электрической энергии. В то же время относительно остальной части цепи, которая получает электрическую энергию от вторичных источников» они могут рассматриваться как источники.

Для подключения к остальной части цепи каждый элемент цепи имеет внешние выводы, называемые также зажимами или полюсами. В зависимости от числа внешних выводов различают двухполюсные (резистор, конденсатор, катушка индуктивности) и многополюсные (транзистор, трансформатор, электронная лампа) элементы.

В теории цепей предполагается, что каждый элемент цепи полностью характеризуется зависимостью между токами и напряжениями на его зажимах, при этом процессы, имеющие место внутри элементов, не рассматриваются.

Элементы, дня которых основные соотношения имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем таких замен, называются дуальными. Так, емкость и индуктивность, сопротивление и проводимость (попарно) являются дуальными элементами. Свойством дуальности обладают не только рассмотренные идеализированные пассивные элементы. Дуальными также могут быть идеализированные активные элементы и электрические цепи, составленные из идеализированных активных и пассивных элементов. В ряде случаев использование принципа дуальности позволяет облегчить исследование процессов в цепи. Так, если известны основные соотношения, описывающие процессы в некоторой цепи, то соответствующие выражения для дуальной цепи могут быть получены без вывода на основании использования свойства дуальности.

В соответствии с основным методом теорий цепей реальные элементы цепи заменяются их упрощенными моделями, построенными из идеализированных элементов. Используют пять основных типов идеализированных двухполюсных элементов: идеальный резистор, идеальный конденсатор, идеальная индуктивная катушка, идеальный источник напряжения и идеальный источник тока. В простейшем случае модель реального элемента может состоять из одного идеализированного элемента, в более сложных случаях она представляет собой соединение нескольких идеализированных элементов. Кроме двухполюсных используют также многополюсные идеализированные элементы–управляемые источники том и напряжения, идеальные трансформаторы и др.

Электрическая цепь, которую получают из исходной реальной цепи при замене каждого реального элемента его упрощенной моделью, составленной из идеализированных элементов, называют моделирующей или идеализированной. В теории цепей исследуют процессы, имеющие место именно в таких цепях.

При перемещении сторонними силами носителей электрического заряда внутри источника энергия процессов, вызывающих эти силы, преобразуется в электрическую энергию. Источники электрической энергии характеризуются электродвижущей силой(ЭДС), которая может быть определена как работа сторонних сил, затрачиваемая на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.

Независимо от природы сторонних сил ЭДС источника численно равна напряжению между зажимами источника энергии при отсутствии в нем тока.

Электрическая схема – это графическое отображение электрической цепи (рис. 1.1а). Она определяет состав идеализированных активных и пассивных элементов моделирующей цепи (источников питания, резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и др.), замещающей исследуемую цепь в рамках рассматриваемой задачи, параметры этих элементов и способ их соединения между собой. При построении схем замещения электрических цепей предполагается, что изображенные на них соединительные проводники и выводы отдельных элементов или частей цепи не способны запасать электрическую энергию или преобразовывать ее в другие виды энергии, т.е. они не обладают емкостью, индуктивностью или сопротивлением [1, 2].

Структурная схема электрической цепи – это условное графическое изображение реальной цепи, отражающее только важнейшие функциональные части цепи и основные связи между ними. Отдельные функциональные части цепи на структурной схеме могут изображаться в виде прямоугольников или с помощью условных графических обозначений; направление хода процессов указывается стрелками на линиях взаимосвязи.

Принципиальная схема электрической цепи представляет собой графическое изображение реальной цепи, на котором с помощью условных графических обозначений показаны все элементы цепи и соединения между ними. Каждому реальному элементу электрической цепи (транзистору, резистору, конденсатору, трансформатору и т.п.) соответствуют условное изображение и буквенное обозначение, определяемые действующими стандартами ЕСКД.

Схемой замещения или эквивалентной схемой электрической цепи называется условное графическое изображение моделирующей цепи, т. е. цепи, составленной из идеализированных элементов, замещающей исследуемую реальную цепь в рамках решаемой задачи. Каждому идеализированному элементу цепи присваиваются определенные условные графическое изображение и буквенное обозначение (они не стандартизированы). Схема замещения цепи может быть получена из принципиальной схемы путем замены каждого изображенного на ней реального элемента его схемой замещения.

На рис. 1.1 представлена топология электрической цепи.

Рис. 1.1. Топология электрической цепи

(а – схема разветвленной цепи, б – граф цепи, в…е – примеры деревьев, 1…4 – узлы)

Ветвь – это участок цепи, состоящий из последовательно включенных элементов, по которому протекает один и тот же ток.

Узел – это место (точка) соединения трех или более ветвей. Место соединения двух ветвей называют устранимым узлом(при соединении двух ветвей токи через них имеют одинаковые значения, поэтому две такие ветви могут быть заменены одной). В неразветвленной цепи все узлы относятся к устранимым, в разветвленной всегда имеются узлы, являющиеся местом соединения трех ветвей и более.

Контур – это любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Контур характеризуют направлением обхода (порядком перечисления ветвей), которое выбирают произвольно и указывают изогнутой стрелкой (рис. 1.1д).

Граф – это условное графическое изображение электрической цепи, не содержащее элементов цепи, но показывающее их соединения, т.е. ветви и узлы (рис. 1.1б). В теории электрических цепей в основном находят применение направленные, или ориентированные графы, у которых каждому ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой. Различают направленные графы схем электрических цепей и направленные графы прохождения сигналов. Направленный граф схемы электрической цепи является упрощенной моделью электрической цепи, отражающей только ее топологические (структурные) свойства. Направленный граф прохождения сигналов представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений, описывающей процессы в электрической цепи. Часто в литературе направленный граф прохождения сигналов называют сигнальным, а направленный граф схемы электрической цепи – просто графом цепи.

Дерево – это незамкнутый граф, соединяющий все узлы электрической цепи и не образующий ни одного замкнутого контура (рис. 1.1в-е).

Сложность исследования процессов в электрических цепях во многом определяется числом топологических элементов. В зависимости от их числа различают простые и сложные цепи. К простым цепям относятся одноконтурная и двухузловая цепи, к сложным – цепи с числом узлов более двух и числом контуров более одного.

Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на уравнениях двух типов: компонентных и топологических.

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой математические модели соответствующих ветвей и выражают ток или напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви. Число таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т.е. от входящих в нее идеализированных двухполюсных элементов.

По виду компонентных уравнений ветви электрической цепи делятся на вырожденные и невырожденные. Компонентные уравнения невырожденной ветви устанавливают связь между ее током и напряжением и могут быть записаны в двух формах: 1) ток ветви определяется через напряжение ветви; 2) напряжение ветви находится через ток. Т.е. ток и напряжение вырожденной ветви не зависят друг от друга. Ветви, составленные только из идеализированных пассивных элементов, а также ветви, состоящие из идеализированных пассивных элементов и источников напряжения, являютсяневырожденными. Ветви, составленные только из идеальных источников напряжения, и ветви, содержащие источник тока, являются вырожденными.

Топологические уравнения устанавливают связь между токами или напряжениями различных ветвей, причем вид и число топологических уравнений не зависят от того, какие именно элементы, входят в состав ветвей цепи. К топологическим уравнениям относятся, в частности, уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа [2, 3].

Пример расчета электрической схемы на основе законов Кирхгофа

Рассмотрим пример расчета схемы со значениями элементов, представленной на рис. 3.1. Электрическая схема содержит источник тока Ik2, нагруженный на сопротивление R2. По второму закону Кирхгофа при составлении уравнений источник тока не может входить в контур. Поэтому преобразуем его в эквивалентный источник ЭДС, используя закон Ома (рис. 3.2)

. (3.1)

На рис. 3.3 приведена полученная схема с указанными положительными направлениями контурных токов I11, I22 и I33, а также токов в ветвях: i1, i2, i3, i4, i5 и i6.

Параметры схемы:

R1 = 6 Ом, R2 = 17, 5 Ом,

R3 = 11 Ом, R4 = 3 Ом,

R5 = 5 Ом, R6 = 7, 5 Ом,

Е2 = 6, 5 В, Е3 = 6 В,

Ik2 = 0, 2 А.

Рис. 3.1. Схема для расчета и значения параметров элементов

Рис. 3.2. Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС

Рис. 3.3. Преобразованная схема с заданными направлениями токов в ветвях

В схеме на рис. 3.3 четыре узла a, b, c, d. Узел d принимаем за узел
с нулевым потенциалом. По первому закону Кирхгофа для каждого узла, кроме нулевого, составляем n – 1 = 3 уравнения, где n – количество узлов

(3.2)

Определяем независимые контуры и выбираем направление их обхода. Количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно количеству независимых контуров в схеме или выражается формулой N – (n ‑ 1), где N ‑ число ветвей. Используя второй закон Кирхгофа, составляем для каждого контура уравнение

(3.3)

где R1…R6 – сопротивления ветвей схемы, E2э и E3 – напряжения источников ЭДС схемы во втором и в третьем контуре, соответственно.

Совместное решение систем уравнений (3.2) и (3.3) позволит определить численные значения искомых токов в ветвях.

Выразим из (3.2) токи i4, i5 и i6 через i1, i2 и i3, получим

(3.4)

Подставим во второе уравнение системы (3.4) выражения для тока i6, получим

(3.5)

В третье уравнение системы (3.5) подставим выражение для тока i4. Окончательно получим

(3.6)

Подставим значения токов i4, i5, i6, определяемых системой (3.6) в (3.3). После проведения элементарных арифметических преобразований получаем систему уравнений

(3.7)

Система уравнений (3.7) состоит из трех уравнений и содержит три неизвестных тока i1, i2 и i3, поэтому для ее решения можно использовать известные методы [6]: метод исключения Гаусса, метод Крамера, или метод обратной матрицы.

Решение системы уравнений (3.7) позволит определить токи i1, i2 и i3, а токи i4, i5 и i6 рассчитываются из системы (3.6).

Проводить расчеты линейных электрических цепей подобных схеме, приведенной на рис. 3.1. удобно с использованием средств MathCAD. Рассмотрим решение системы уравнений (3.7) относительно токов i1, i2 и i3 и нахождение значений токов i4, i5 и i6 в MathCAD. Для решения системы уравнений (3.7) будем использовать метод обратной матрицы, для этого представим систему (3.7) в матричном виде

, (3.8)

где I = (i1 i2 i3)^Т – вектор токов, E = (–E2э E2э –E3)^T – вектор ЭДС,

- матрица сопротивлений,

^Т – знак транспонирования.

Вектора токов I можно определить из соотношения [6]

, (3.9)

где R ^-1 – обратная матрица R.

Примерный листинг программы в MathCAD имеет вид:

Метод контурных токов

Для расчета сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь N – (n ‑ 1) независимых уравнений, составленных на основе второго закона Кирхгофа, воспользовавшись методом контурных токов.

Сущность метода заключается в том, что в нем реализуется принцип использования промежуточных переменных, число которых меньше, чем число искомых переменных. При этом осуществляется переход от реальных токов рассчитываемой цепи (их число равно N) к контурным токам (их число определяется количеством независимых контуров и равно N – (n ‑ 1)).

Контурный ток – это условный расчетный ток, имеющий одинаковое значение на всех участках заданного контура. Для контура с источником тока уравнения не составляются, поэтому их, как и в предыдущем методе, преобразовывают в источник ЭДС.

Для определения токов в ветвях методом контурных токов достаточно ввести в расчет контурные токи и составить уравнения только на основании второго закона Кирхгофа. При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа выполняется, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой ‑ от того же узла.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных уравнений цепи.

При использовании метода контурных токов сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, принято называть собственным сопротивлением контура, а комплексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум контурам – общим сопротивлением этих контуров.

Общее сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то общее сопротивление берут со знаком минус. Если контуры не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю.

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока. Поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от данного контурного тока в собственном сопротивлении контура берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура
в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи
в этом сопротивлении направлены встречно.

При определении контурных токов составляют уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура и решают их относительно контурных токов.

Если заданная электрическая схема содержит q независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система из q уравнений

(3.10)

где ‑ контурная ЭДС (в общем случае является комплексной величиной) – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в данном контуре; ЭДС, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а направленные встречно – со знаком минус; Rii – собственное сопротивление контура i; Rik – общее (взаимное) сопротивление контуров i и k.

Собственные сопротивления Rii войдут со знаком плюс, поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока . Общие сопротивления Rik войдут со знаком минус, когда токи и направлены в них встречно.

Анализируя выражения (3.10), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть уравнении, составленного для i-го контура, представляет собой сумму членов, один из которых равен произведению контурного тока i-гo контура на его собственное сопротивление, а остальные – произведениям контурных токов других контуров на общие сопротивления i-гo контура и этих контуров; правая часть уравнения i-гo контура содержит только один член – контурную ЭДС этого контура.

Уравнения (3.10), выражающие второй закон Кирхгофа, записав в предположении, что источниками электрической энергии служат источники напряжения. При наличии в электрической схеме источников тока последние могут быть заменены эквивалентными источниками напряжения. Если проводимости источников тока равны нулю, то целесообразно в этом случае выбрать заданные токи в качестве контурных, тогда число неизвестных контурных токов и соответственно число уравнение сократится на число заданных токов.

Если в заданной электрической схеме имеются параллельные ветви, то замена их эквивалентным комплексным сопротивлением сокращает число контуров (за счет тех, которые образованы параллельными ветвями).

Электрические цепи могут быть планарными или непланарными.

Планарная, или плоская, электрическая цепь может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещивающимися ветвями. В некоторых случаях пересечение в электрической схеме, являющееся результатом принятого способа начертания схемы, устраняется при другом способе изображения данной планарной электрической цепи. Непланарная электрическая цепь не может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещивающимися ветвями.

Если направление контурных токов во всех контурах планарной электрической цепи одинаково, например совпадает с ходом часовой стрелки, то общие сопротивления смежных контуров входят в систему уравнений (3.10) со знаком минус, так как контурные токи смежных контуров направлены в общих ветвях встречно. Направление контурных токов по ходу часовой стрелки принимается во всех контурах, кроме внешнего контура, охватывающего всю схему. В последнем контурный ток направляется против часовой стрелки. Это правило, однако, не является обязательным.

Решение уравнений (3.10) относительно искомых контурных токов может быть найдено методом Крамера [6]

, и т.д., где определитель системы

На практике во многих случаях для решения системы уравнений (3.10) может быть использован метод последовательных исключений неизвестных или метод Гаусса [6].

Для линейных цепей, состоящих только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, ма трица контурных сопротивлений квадратная, причем вследствие того, что для таких цепей всегда выполняется условие R_ik= R_ki, матрица R_ik – симметрична относительно главной диагонали.

Таким образом, зная структуру контурных уравнений и выделив главные контуры рассматриваемой линейной цепи, нетрудно сформировать систему контурных уравнений, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия цепи.

Пример расчета электрической схемы методом контурных токов

Рассмотрим пример расчета токов в ветвях электрической схемы, приведенной на рис. 3.1 методом контурных токов. Как и в предыдущем методе, источники тока заменяем источниками напряжения и расчет проводим для схемы рис. 3.4, в которой в отличии от рис.3.3 введены контурные токи I11, I22 и I33. Поскольку рассчитываемая схема не содержит реактивных элементов, то знак комплексных величин будем опускать

Рис. 3.4. Схема с заданными направлениями контурных токов и токов в ветвях

Расчеты будем проводить в следующей последовательности:

· выбираем независимые контуры, в нашем случае их три: abca, acda и bdcb (рис. 3.4), q = 3;

· за направления контурных токов принимаем положительные направления токов (направления обхода контура по часовой стрелке);

· определяем собственные и взаимные сопротивления контуров:

· вычисляем контурные ЭДС:

, , .

Решив систему (3.10) при q = 3 и определенных выше значениях сопротивлений и ЭДС, найдем контурные токи

, ,

где ‑ определители системы (3.10), получаемые путем замены соответствующего столбца столбцом ЭДС и в рассматриваемом случае имеющие вид

Из найденных значений контурных токов вычислим значения токов в ветвях (рис. 3.4) по соотношениям:

; ; ;

; ; . (3.11)

Листинг программы расчета для исходных данных из предыдущего примера имеет вид

Метод узловых потенциалов

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, можно использовать также так называемые узловые напряжения, т.е. напряжения независимых узлов цепи относительно базисного. Напряжения всех ветвей электрической цепи могут быть выражены через ее узловые напряжения.

Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений.

Метод узловых потенциалов рекомендуется применять для расчета электрических цепей, у которых число узлов меньше числа независимых контуров. Этот метод основан на применении первого закона Кирхгофа
и обобщенного закона Ома. Расчетное число уравнений определяется числом узлов цепи и составляет (n ‑ 1) уравнений.

Как и в методе контурных токов, здесь также применяются промежуточные переменные, в качестве которых используются узловые напряжения. Узловое напряжение – это напряжение между любым узлом схемы
и некоторым базисным узлом, потенциал которого принимают равным нулю. Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному. Затем записывают уравнения относительно напряжения узлов, число которых для любой схемы равно (n ‑ 1), и решают их. Искомые токи ветвей определяются из найденных напряжений узлов по обобщенному закону Ома.

Для любой электрической цепи, имеющей четыре узла, систему уравнений относительно узловых напряжений можно записать в общем виде

(3.12)

где Ykk – собственная проводимость k-го узла, Yik = Yki – взаимная проводимость между i-м и k-м узлами, Uk – узловое напряжение k-го узла, ‑ узловой ток k-го узла (алгебраическая сумма токов, сходящихся в k-м узле).

Таким образом, левая часть узлового уравнении, составленного для k -го независимого узла, есть сумма членов, один из которых равен произведению узлового напряжения k -го узла на его собственную проводимость, а остальные – произведениям узловых напряжений других независимых узлов на взаимные проводимости k -го узла и этих узлов. Правая часть каждого уравнения равна узловому току соответствующего узла.

Систему уравнений (3.12) можно задать в матричном виде

, (3.13)

где матрица проводимостей , вектора узловых потенциалов U = (U1 U2 U3)^T и токов .

Собственная проводимость (Y11, Y22, Y33) определяется как комплексная проводимость всех ветвей, присоединенных к k-му узлу. Эти элементы располагаются в главной диагонали матрицы проводимостей Y и принимают положительные значения, если узловые напряжения направлены в базисный узел.

Взаимная проводимость (Y12=Y21, Y23=Y32, Y13=Y31) определяется комплексной проводимостью между двумя узлами. В системе уравнений взаимная проводимость всегда записывается со знаком минус.

Узловой ток находят как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждым источником ЭДС и источником тока, расположенными в ветвях, примыкающих к k-му узлу. Слагаемое в узловом токе имеет знак плюс, если соответствующий ему источник направлен к рассматриваемому узлу и знак минус – если от него.

Уравнения (3.12)выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников напряжения последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Если в схеме имеются ветви, содержащие только ЭДС (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным ЭДС.

При наличии только одной ветви с ЭДС и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которым примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.

Решив систему (3.12) или матричное уравнение (3.13) методом Крамера относительно неизвестных узловых напряжений, получаем выражения для напряжения k-го узла относительно базиса

, (3.14)

где ‑ определитель матрицы проводимостей; Dk – определитель матрицы, получаемой из матрицы проводимостей Y путем замены k – го столбца матрицы Y на вектор узловых токов .

Уравнения системы (3.12) записаны в предположении, что источниками электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников напряжения последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Метод узловых потенциалов имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет N ветвей и n узлов, то в соответствии с вышесказанным метод узловых напряжений представляет преимущество при (n – 1) < (N – n + 1) или, что то же самое, при 2(n ‑ 1) < N.

Пример расчета электрической схемы методом узловых потенциалов

Рассмотрим на практике использование метода узловых потенциалов для расчета токов в ветвях электрической схемы на рис. 3.1.

Расчеты будем проводить в следующей последовательности:

· Заменим источники напряжения эквивалентными источниками тока, получим схему, приведенную на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Схема с заданными узловыми потенциалами

При замене источников напряжения эквивалентными источниками тока, числовые величины последних рассчитываем по соотношениям

, .

· Принимаем за базисный ‑ узел d и вводим числовую нумерацию узлов, для того чтобы рассчитываемые параметры соответствовали системе уравнений (3.12). Таким образом, базисным будет узел 4 (рис. 3.5).

· Отображаем на схеме стрелками направление узловых напряжений U1, U2, U3 – от каждого узла к базисному.

· Определяем величины собственных и взаимных проводимостей узлов:

· Вычисляем узловые токи (алгебраическая сумма токов, создаваемых источниками тока, входящих или исходящих из узла):

, , .

· Получаем систему уравнений (3.12) с учетов введенных выше параметров

(3.15)

· Решив систему уравнений (3.15) относительно неизвестных значений узловых напряжений, рассчитаем токи в ветвях схемы по обобщенному закону Ома

Листинг программы расчета в среде MathCAD значений токов в ветвях схемы методом узловых потенциалов имеет вид

Метод наложения

Принцип наложения (суперпозиции) отражает важнейшее свойство линейных электрических цепей Это свойство состоит в том, чтореакция линейных электрических цепей на произвольное внешнее воздействие , представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий, равна линейной комбинации реакций , вызванных каждым из простых воздействий в отдельности.

Из принципа наложения следует, чтоток или напряжение любой ветви линейной электрической цепи, содержащей наряду с пассивными элементами зависимые и независимые источники тока и напряжения, равны сумме частичных токов или напряжений, вызванных действием каждого из независимых источников в отдельности.

На принципе наложения осно<

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒