Матричный метод расчета электрической схемы

 

Математическая символика и правила матричной алгебры позволяют упростить запись систем уравнений, получающихся при расчете сложных электрических цепей.

Приведенная в п. 3.2 система уравнений (3.10), записанных по второму закону Кирхгофа для контурных ЭДС и контурных токов, может быть представлена в виде произведений квадратной матрицы собственных и взаимных сопротивлений контуров на вектор контурных токов. При этом следует помнить, что произведением двух матриц называется матрица, элементы которой равны сумме произведений элементов соответствующей строки первой матрицы на элементы соответствующего столбца второй матрицы. Таким образом, система уравнения (3.10) в матричной форме имеют вид

или сокращенно .

Данное матричное уравнение может быть решено относительно вектора . Для этого умножим слева обе части уравнения на матрицу, обратную матрице

. (3.16)

Произведение обратной матрицы на исходную матрицу равно единичной матрице , поэтому выражение (3.16) примет вид

.

В результате получается выражение для расчета контурных токов.

Аналогично можно решить матричное уравнение (3.13) для узловых потенциалов. Решение имеет вид

.

Листинг программы расчета контурных токов и узловых потенциалов матричным методом в среде MathCAD имеет вид

 

Метод наложения

 

Принцип наложения (суперпозиции) отражает важнейшее свойство линейных электрических цепей Это свойство состоит в том, чтореакция линейных электрических цепей на произвольное внешнее воздействие , представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий, равна линейной комбинации реакций , вызванных каждым из простых воздействий в отдельности.

Из принципа наложения следует, чтоток или напряжение любой ветви линейной электрической цепи, содержащей наряду с пассивными элементами зависимые и независимые источники тока и напряжения, равны сумме частичных токов или напряжений, вызванных действием каждого из независимых источников в отдельности.

На принципе наложения основан широко используемый на практике метод анализа цепей – метод наложения. Его удобно применять в тех случаях, когда по условиям задачи требуется найти ток или напряжение одной из ветвей цепи, в состав которой входит несколько независимых источников. В соответствии с принципов наложения искомый ток (напряжение) представляют в виде суммы частичных токов (напряжений). Для определения частичных токов (напряжений) используют схемы замещения цепи, получаемые из исходной схемы путем выключения всех независимых источников, кроме одного, вызывающего соответствующий частичный ток (напряжение). Таким образом, задача анализа сложной цепи, содержащей несколько независимых источников энергии, заменяется рядом более простых задач исследования цепей с одним независимым источником.

Принцип суперпозиции применим только к линейным цепям, поэтому следующий из него метод наложения используется для анализа простейших линейных цепей с двумя или тремя источниками энергии. При большем числе источников целесообразно применять другие методы расчета, приводящие к меньшим временным затратам [5, 7].

Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью.

В линейной электрической цепи, содержащей источники напряжения, контурные токи (и соответственно токи в ветвях) представляют функции контурных ЭДС, т.е ток в любом контуре линейной электрической цепи может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этом контуре каждой из ЭДС в отдельности.

При определении частичных слагающих токов по методу наложения необходимо считать включенными внутренние сопротивления тех источников напряжения, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы источники ЭДС, т.е. внутренние сопротивления источников равны нулю, то при определении токов, вызываемых какой-либо ЭДС, все остальные источники ЭДС закорачиваются.

В свою очередь в линейной электрической цепи, содержащей источники тока, узловые напряжения (и соответственно напряжения на ветвях) представляют линейные функции от задающих токов источников, т.е. узловое напряжение любого узла линейной электрической цепи может быть получено как алгебраическая сумма напряжений, вызываемых в этом узле каждым из задающих токов в отдельности.

При определении частичных слагающих узловых напряжений по методу наложения необходимо считать включенными внутренние проводимости тех источников тока, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих напряжений. Если источники тока заданы без внутренних проводимостей, т.е. проводимости их равны нулю, то при использовании метода наложения ветви с неучтенными источниками тока разрываются.

Если в линейной электрической цепи заданными являются одновременно источники напряжения и источники тока, то метод наложения применим и в этом случае. Например, ток в каком-либо контуре данной цепи может быть получен в результате алгебраического сложения токов, вызываемых в этом контуре поочередным действием источников тока и напряжения. При этом внутренние сопротивления отсутствующих источников напряжения и внутренние проводимости отсутствующих источников тока сохраняются в схеме.

 

Пример расчета электрической схемы методом наложения

 

 

Рис. 3.6. Название Рис. 3.7. Название

Проведем расчет электрической схемы с двумя источниками ЭДС, показанной на рис. 3.3 методом наложения. Представим исходную схему в виде двух схем, оставляя в каждой из них только один источник ЭДС.

Для каждой схемы, приведенных на рис. 3.6 и 3.7 любым способом, например, методом контурных токов, определяем токи ветвей, а затем находим искомые токи схемы рис. 3.3 как сумму токов, найденных для каждой из схем в отдельности.

Схема, изображенная на рис. 3.6 содержит только источник ЭДС Е3, а схема, приведенная на рис. 3.7 ‑ источник ЭДС Е2э. Поэтому системы уравнений по методу контурных токов для каждой схемы в отдельности будут иметь вид

(3.17)

(3.18)

Неизвестные контурные токи в системах уравнений (3.17) и (3.18) находим матричным методом (см. п. 3.4). Затем находим токи ветвей для каждой схемы рис 3.6 и рис.3.7 по выражениям (3.11). Значения токов в ветвях для электрической схемы на рис. 3.3 определим как алгебраическую сумму найденных токов ветвей для двух преобразованных схем рис. 3.6 и 3.7

Листинг программы расчета токов ветвей методом наложения в среде MathCAD имеет вид.

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. А, б – схемы применения приспособления; в – готовая рамка; 1 – рычаг; 2 – ролик; 3 – заготовка; 4 – оправка; А, Б – соответственно верхнее и нижнее положение рычага
2. Альтернативные схемы APT первого ряда
3. Анализ принципиальной схемы.
4. Анализ схемы с помощью программы EWB
5. Анализ электрокардиограммы: определение интервалов, зубцов, положения электрической оси сердца в грудной клетке.
6. Блокировочные схемы, обеспечивающие наладочные режимы.
7. Врелязадающие и времяизлеряющие схемы
8. Выбор и обоснование структурной схемы устройства
9. Выбор системы и схемы внутреннего водопровода.
10. Выбор схемы внешнего электроснабжения
11. Выбор схемы возведения зданий
12. Выбор схемы комплексной механизации.