Метод расчета цепей на основе законов Кирхгофа

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Основными законами теории цепей наряду с законом Ома являются законы баланс токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа).

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа. Законы Кирхгофа пригодны для решения любых электротехнических задач (для постоянного и переменного токов, нелинейных цепей, переходных процессов).

Распределение токов и напряжений в электрических цепях подчиняется этим законам, которые должны быть основательно усвоены для отчетливого понимания всего курса теории цепей.

Для каждой электрической цепи можно выбрать систему независимых контуров. Контуры выбираются последовательно таким образом, чтобы в каждом была хотя бы одна ветвь, не входящая в уже рассмотренные контуры.

При выборе независимых контуров заданную схему цепи удобно изображать в виде графа. Одним из способов определения числа контуров является построение дерева схемы, а затем поочередно добавляются главные ветви (это ветви графа, не входящие в состав дерева). Любой контур, образуемый добавлением новой ветви, является независимым, так как он отличается от предыдущих контуров новой ветвью. Другим способом определения числа независимых контуров, достаточных для расчета схемы, является построение графа и поочередное размыкание главных ветвей, пока не получится дерево схемы.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов любого узла электрической цепи равна нулю

где ‑ ток k-ой ветви, подключенной к узлу, N – число ветвей, входящих в узел.

Если электрическая цепь имеет N ветвей и n узлов, то, в соответствии с первым законом Кирхгофа, для нее можно получить (n – 1) линейно -
независимых уравнения.

Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, так как ни в каком элементе цепи, ни в каком режиме электричество одного знака не может накапливаться.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме напряжений на остальных элементах этого контура

где ‑ напряжение на k-ом элементе контура, ‑ ЭДС напряжения этого контура, K – число элементов контура (без учета S ‑ числа ЭДС, включенных в контур).

В соответствии со вторым законом Кирхгофа, для электрической цепи можно получить N – (n ‑ 1) линейно-независимых уравнений.

Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, пользуются тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных хотя бы одной переменной. Этому условию удовлетворяет система главных сечений графа, так как каждое из главных сечений m, соответствующих выбранному дереву, отличается; от других главных сечений, по крайней мере, одной ветвью, а именно ветвью дерева, входящей в данное главное сечение.

Для линейной независимости уравнений, составляемых на основании второго закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, для того чтобы выделенная совокупность контуров была независимой, достаточно, чтобы каждый контур отличался от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, соответствующих какому-либо дереву графа, так как каждый из главных контуров отличается от других, по крайней мере, соответствующей ему главной ветвью. Так как число главных контуров, соответствующих любому-дереву графа, p=N – n +1, то в каждой цепи можно выделить n независимых контуров и составить для них p линейно независимых уравнений баланса напряжений.

Таким образом, общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:

m+p = (n – 1)+(N – n +1) =N.

В связи с тем, что использованное достаточное условие линейной независимости систем уравнений не является необходимым, для каждой электрической цепи можно найти и другие системы независимых контуров и сечений, не совпадающие ни с одной из систем главных контуров и главных сечений графа рассматриваемой цепи.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии и отражает тот факт, что энергия, затраченная сторонними силами на перенос произвольного заряда внутри источников, входящих в контур, равна энергии, затрачиваемой источниками на перенос этого заряда через пассивные элементы контура.

Следует подчеркнуть, что закон сохранения энергии выполняется при переносе заряда по любому замкнутому пути (не обязательно полностью проходящему через ветви цепи). Поэтому уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить для любой совокупности элементов, образующих путь для электрического тока от произвольно выбранного узла (а) электрической цепи к узлу (б) с учетом напряжения между конечными точками этого пути и_аб.

Так как вид и число уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа, не зависят от того, какие элементы входят в состав цепи, а определяются только ее топологическими особенностями, то уравнения баланса токов и напряжений можно применять для математического описания процессов в моделирующих цепях, составленных из двухполюсных элементов любого типа (как линейных, так и нелинейных) при любой форме токов и напряжений независимых источников.

На основании законов Кирхгофа для каждой цепи можно составить несколько различных систем линейно независимых топологических уравнений. Системой независимых узлов или системой независимых контуров называют любые совокупности узлов и контуров цепи, для которых можно составить системы линейно независимых уравнений по законам Кирхгофа. Определение числа независимых узлов и контуров, а также выделение систем соответствующих узлов и контуров являются основными задачами топологии цепей.

Если известны все элементы цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности:

· нумеруются узлы цепи; выбирается узел, потенциал, которого принимается известным (балансный или нулевой узел), как правило, равным нулю;

· для каждой ветви выбирается условно-положительное направление тока и согласованное с ним направление напряжения;

· выбираются независимые контуры и положительные направления их обхода;

· для каждого узла, за исключением узла с заданным потенциалом, записываются уравнения по первому закону Кирхгофа. В этих уравнениях одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. Обычно, токи, направленные к узлу, учитывают со знаком минус, а от узла – со знаком плюс;

· записываются уравнения по второму закону Кирхгофа. Положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура [2 ‑ 4].

Пример расчета электрической схемы на основе законов Кирхгофа

Рассмотрим пример расчета схемы со значениями элементов, представленной на рис. 3.1. Электрическая схема содержит источник тока Ik2, нагруженный на сопротивление R2. По второму закону Кирхгофа при составлении уравнений источник тока не может входить в контур. Поэтому преобразуем его в эквивалентный источник ЭДС, используя закон Ома (рис. 3.2)

. (3.1)

На рис. 3.3 приведена полученная схема с указанными положительными направлениями контурных токов I11, I22 и I33, а также токов в ветвях: i1, i2, i3, i4, i5 и i6.

Параметры схемы:

R1 = 6 Ом, R2 = 17, 5 Ом,

R3 = 11 Ом, R4 = 3 Ом,

R5 = 5 Ом, R6 = 7, 5 Ом,

Е2 = 6, 5 В, Е3 = 6 В,

Ik2 = 0, 2 А.

Рис. 3.1. Схема для расчета и значения параметров элементов

Рис. 3.2. Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС

Рис. 3.3. Преобразованная схема с заданными направлениями токов в ветвях

В схеме на рис. 3.3 четыре узла a, b, c, d. Узел d принимаем за узел
с нулевым потенциалом. По первому закону Кирхгофа для каждого узла, кроме нулевого, составляем n – 1 = 3 уравнения, где n – количество узлов

(3.2)

Определяем независимые контуры и выбираем направление их обхода. Количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно количеству независимых контуров в схеме или выражается формулой N – (n ‑ 1), где N ‑ число ветвей. Используя второй закон Кирхгофа, составляем для каждого контура уравнение

(3.3)

где R1…R6 – сопротивления ветвей схемы, E2э и E3 – напряжения источников ЭДС схемы во втором и в третьем контуре, соответственно.

Совместное решение систем уравнений (3.2) и (3.3) позволит определить численные значения искомых токов в ветвях.

Выразим из (3.2) токи i4, i5 и i6 через i1, i2 и i3, получим

(3.4)

Подставим во второе уравнение системы (3.4) выражения для тока i6, получим

(3.5)

В третье уравнение системы (3.5) подставим выражение для тока i4. Окончательно получим

(3.6)

Подставим значения токов i4, i5, i6, определяемых системой (3.6) в (3.3). После проведения элементарных арифметических преобразований получаем систему уравнений

(3.7)

Система уравнений (3.7) состоит из трех уравнений и содержит три неизвестных тока i1, i2 и i3, поэтому для ее решения можно использовать известные методы [6]: метод исключения Гаусса, метод Крамера, или метод обратной матрицы.

Решение системы уравнений (3.7) позволит определить токи i1, i2 и i3, а токи i4, i5 и i6 рассчитываются из системы (3.6).

Проводить расчеты линейных электрических цепей подобных схеме, приведенной на рис. 3.1. удобно с использованием средств MathCAD. Рассмотрим решение системы уравнений (3.7) относительно токов i1, i2 и i3 и нахождение значений токов i4, i5 и i6 в MathCAD. Для решения системы уравнений (3.7) будем использовать метод обратной матрицы, для этого представим систему (3.7) в матричном виде

, (3.8)

где I = (i1 i2 i3)^Т – вектор токов, E = (–E2э E2э –E3)^T – вектор ЭДС,

- матрица сопротивлений,

^Т – знак транспонирования.

Вектора токов I можно определить из соотношения [6]

, (3.9)

где R ^-1 – обратная матрица R.

Примерный листинг программы в MathCAD имеет вид:

Метод контурных токов

Для расчета сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь N – (n ‑ 1) независимых уравнений, составленных на основе второго закона Кирхгофа, воспользовавшись методом контурных токов.

Сущность метода заключается в том, что в нем реализуется принцип использования промежуточных переменных, число которых меньше, чем число искомых переменных. При этом осуществляется переход от реальных токов рассчитываемой цепи (их число равно N) к контурным токам (их число определяется количеством независимых контуров и равно N – (n ‑ 1)).

Контурный ток – это условный расчетный ток, имеющий одинаковое значение на всех участках заданного контура. Для контура с источником тока уравнения не составляются, поэтому их, как и в предыдущем методе, преобразовывают в источник ЭДС.

Для определения токов в ветвях методом контурных токов достаточно ввести в расчет контурные токи и составить уравнения только на основании второго закона Кирхгофа. При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа выполняется, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой ‑ от того же узла.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных уравнений цепи.

При использовании метода контурных токов сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, принято называть собственным сопротивлением контура, а комплексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум контурам – общим сопротивлением этих контуров.

Общее сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то общее сопротивление берут со знаком минус. Если контуры не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю.

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока. Поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от данного контурного тока в собственном сопротивлении контура берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура
в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи
в этом сопротивлении направлены встречно.

При определении контурных токов составляют уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура и решают их относительно контурных токов.

Если заданная электрическая схема содержит q независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система из q уравнений

(3.10)

где ‑ контурная ЭДС (в общем случае является комплексной величиной) – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в данном контуре; ЭДС, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а направленные встречно – со знаком минус; Rii – собственное сопротивление контура i; Rik – общее (взаимное) сопротивление контуров i и k.

Собственные сопротивления Rii войдут со знаком плюс, поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока . Общие сопротивления Rik войдут со знаком минус, когда токи и направлены в них встречно.

Анализируя выражения (3.10), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть уравнении, составленного для i-го контура, представляет собой сумму членов, один из которых равен произведению контурного тока i-гo контура на его собственное сопротивление, а остальные – произведениям контурных токов других контуров на общие сопротивления i-гo контура и этих контуров; правая часть уравнения i-гo контура содержит только один член – контурную ЭДС этого контура.

Уравнения (3.10), выражающие второй закон Кирхгофа, записав в предположении, что источниками электрической энергии служат источники напряжения. При наличии в электрической схеме источников тока последние могут быть заменены эквивалентными источниками напряжения. Если проводимости источников тока равны нулю, то целесообразно в этом случае выбрать заданные токи в качестве контурных, тогда число неизвестных контурных токов и соответственно число уравнение сократится на число заданных токов.

Если в заданной электрической схеме имеются параллельные ветви, то замена их эквивалентным комплексным сопротивлением сокращает число контуров (за счет тех, которые образованы параллельными ветвями).

Электрические цепи могут быть планарными или непланарными.

Планарная, или плоская, электрическая цепь может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещивающимися ветвями. В некоторых случаях пересечение в электрической схеме, являющееся результатом принятого способа начертания схемы, устраняется при другом способе изображения данной планарной электрической цепи. Непланарная электрическая цепь не может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещивающимися ветвями.

Если направление контурных токов во всех контурах планарной электрической цепи одинаково, например совпадает с ходом часовой стрелки, то общие сопротивления смежных контуров входят в систему уравнений (3.10) со знаком минус, так как контурные токи смежных контуров направлены в общих ветвях встречно. Направление контурных токов по ходу часовой стрелки принимается во всех контурах, кроме внешнего контура, охватывающего всю схему. В последнем контурный ток направляется против часовой стрелки. Это правило, однако, не является обязательным.

Решение уравнений (3.10) относительно искомых контурных токов может быть найдено методом Крамера [6]

, и т.д., где определитель системы

На практике во многих случаях для решения системы уравнений (3.10) может быть использован метод последовательных исключений неизвестных или метод Гаусса [6].

Для линейных цепей, состоящих только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, ма трица контурных сопротивлений квадратная, причем вследствие того, что для таких цепей всегда выполняется условие R_ik= R_ki, матрица R_ik – симметрична относительно главной диагонали.

Таким образом, зная структуру контурных уравнений и выделив главные контуры рассматриваемой линейной цепи, нетрудно сформировать систему контурных уравнений, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия цепи.

Пример расчета электрической схемы методом контурных токов

Рассмотрим пример расчета токов в ветвях электрической схемы, приведенной на рис. 3.1 методом контурных токов. Как и в предыдущем методе, источники тока заменяем источниками напряжения и расчет проводим для схемы рис. 3.4, в которой в отличии от рис.3.3 введены контурные токи I11, I22 и I33. Поскольку рассчитываемая схема не содержит реактивных элементов, то знак комплексных величин будем опускать

Рис. 3.4. Схема с заданными направлениями контурных токов и токов в ветвях

Расчеты будем проводить в следующей последовательности:

· выбираем независимые контуры, в нашем случае их три: abca, acda и bdcb (рис. 3.4), q = 3;

· за направления контурных токов принимаем положительные направления токов (направления обхода контура по часовой стрелке);

· определяем собственные и взаимные сопротивления контуров:

· вычисляем контурные ЭДС:

, , .

Решив систему (3.10) при q = 3 и определенных выше значениях сопротивлений и ЭДС, найдем контурные токи

, ,

где ‑ определители системы (3.10), получаемые путем замены соответствующего столбца столбцом ЭДС и в рассматриваемом случае имеющие вид

Из найденных значений контурных токов вычислим значения токов в ветвях (рис. 3.4) по соотношениям:

; ; ;

; ; . (3.11)

Листинг программы расчета для исходных данных из предыдущего примера имеет вид

Метод узловых потенциалов

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, можно использовать также так называемые узловые напряжения, т.е. напряжения независимых узлов цепи относительно базисного. Напряжения всех ветвей электрической цепи могут быть выражены через ее узловые напряжения.

Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений.

Метод узловых потенциалов рекомендуется применять для расчета электрических цепей, у которых число узлов меньше числа независимых контуров. Этот метод основан на применении первого закона Кирхгофа
и обобщенного закона Ома. Расчетное число уравнений определяется числом узлов цепи и составляет (n ‑ 1) уравнений.

Как и в методе контурных токов, здесь также применяются промежуточные переменные, в качестве которых используются узловые напряжения. Узловое напряжение – это напряжение между любым узлом схемы
и некоторым базисным узлом, потенциал которого принимают равным нулю. Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному. Затем записывают уравнения относительно напряжения узлов, число которых для любой схемы равно (n ‑ 1), и решают их. Искомые токи ветвей определяются из найденных напряжений узлов по обобщенному закону Ома.

Для любой электрической цепи, имеющей четыре узла, систему уравнений относительно узловых напряжений можно записать в общем виде

(3.12)

где Ykk – собственная проводимость k-го узла, Yik = Yki – взаимная проводимость между i-м и k-м узлами, Uk – узловое напряжение k-го узла, ‑ узловой ток k-го узла (алгебраическая сумма токов, сходящихся в k-м узле).

Таким образом, левая часть узлового уравнении, составленного для k -го независимого узла, есть сумма членов, один из которых равен произведению узлового напряжения k -го узла на его собственную проводимость, а остальные – произведениям узловых напряжений других независимых узлов на взаимные проводимости k -го узла и этих узлов. Правая часть каждого уравнения равна узловому току соответствующего узла.

Систему уравнений (3.12) можно задать в матричном виде

, (3.13)

где матрица проводимостей , вектора узловых потенциалов U = (U1 U2 U3)^T и токов .

Собственная проводимость (Y11, Y22, Y33) определяется как комплексная проводимость всех ветвей, присоединенных к k-му узлу. Эти элементы располагаются в главной диагонали матрицы проводимостей Y и принимают положительные значения, если узловые напряжения направлены в базисный узел.

Взаимная проводимость (Y12=Y21, Y23=Y32, Y13=Y31) определяется комплексной проводимостью между двумя узлами. В системе уравнений взаимная проводимость всегда записывается со знаком минус.

Узловой ток находят как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждым источником ЭДС и источником тока, расположенными в ветвях, примыкающих к k-му узлу. Слагаемое в узловом токе имеет знак плюс, если соответствующий ему источник направлен к рассматриваемому узлу и знак минус – если от него.

Уравнения (3.12)выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников напряжения последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Если в схеме имеются ветви, содержащие только ЭДС (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным ЭДС.

При наличии только одной ветви с ЭДС и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которым примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.

Решив систему (3.12) или матричное уравнение (3.13) методом Крамера относительно неизвестных узловых напряжений, получаем выражения для напряжения k-го узла относительно базиса

, (3.14)

где ‑ определитель матрицы проводимостей; Dk – определитель матрицы, получаемой из матрицы проводимостей Y путем замены k – го столбца матрицы Y на вектор узловых токов .

Уравнения системы (3.12) записаны в предположении, что источниками электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников напряжения последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Метод узловых потенциалов имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет N ветвей и n узлов, то в соответствии с вышесказанным метод узловых напряжений представляет преимущество при (n – 1) < (N – n + 1) или, что то же самое, при 2(n ‑ 1) < N.

Пример расчета электрической схемы методом узловых потенциалов

Рассмотрим на практике использование метода узловых потенциалов для расчета токов в ветвях электрической схемы на рис. 3.1.

Расчеты будем проводить в следующей последовательности:

· Заменим источники напряжения эквивалентными источниками тока, получим схему, приведенную на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Схема с заданными узловыми потенциалами

При замене источников напряжения эквивалентными источниками тока, числовые величины последних рассчитываем по соотношениям

, .

· Принимаем за базисный ‑ узел d и вводим числовую нумерацию узлов, для того чтобы рассчитываемые параметры соответствовали системе уравнений (3.12). Таким образом, базисным будет узел 4 (рис. 3.5).

· Отображаем на схеме стрелками направление узловых напряжений U1, U2, U3 – от каждого узла к базисному.

· Определяем величины собственных и взаимных проводимостей узлов:

· Вычисляем узловые токи (алгебраическая сумма токов, создаваемых источниками тока, входящих или исходящих из узла):

, , .

· Получаем систему уравнений (3.12) с учетов введенных выше параметров

(3.15)

· Решив систему уравнений (3.15) относительно неизвестных значений узловых напряжений, рассчитаем токи в ветвях схемы по обобщенному закону Ома

Листинг программы расчета в среде MathCAD значений токов в ветвях схемы методом узловых потенциалов имеет вид

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒