Расчёт оптимальной стратегии выбора максимального выигрыша по критерию Лапласа с неопределёнными вероятностями выбора стратегий природой

Таблица 1

	В₁	В₂	В₃	В₄	Средний выигрыш
А₁					18, 25
А₂					16, 75
А₃					16, 5
А₄					15, 75
А₅					17, 75
Максимальный средний выигрыш	18, 25

Определяем средние выигрыши игрока по каждой стратегии: = = = =18, 25; = = =16, 75; = = =16, 5; = = = 15, 75; = = = 17, 75. Оптимальной стратегией будет стратегия А₁ с наибольшим средним выигрышем 18, 25. Ответ: = ; =18, 25.

Когда платёжная матрица определяет проигрыши игрока А и целью игрока становится достижение наименьшего проигрыша, то оптимальной стратегией будет стратегия, при которой достигается минимум среднего выигрыша : = .

Пример 2. Задана платёжная матрица = , определяющая проигрыши игрока А в игре с природой. По критерию Лапласа определить оптимальную стратегию игрока А, при которой он получит минимальный выигрыш,

Решение. Как и в первом примере строим таблицу (табл. 2). В последней строке записываем минимальный проигрыш.

Таблица 2

Расчёт оптимальной стратегии выбора минимального выигрыша по критерию Лапласа с неопределёнными вероятностями выбора стратегий природой

	В₁	В₂	В₃	В₄	Средний выигрыш
А₁					18, 25
А₂					16, 75
А₃					16, 5
А₄					15, 75
А₅					17, 75
Максимальный средний выигрыш	15, 75

Оптимальной стратегией будет стратегия А₄ с наименьшим средним проигрышем 15, 75.

Ответ: = ; =15, 75.

4. Использование критерия Лапласа при заданных вероятностях выбора природой своих стратегий

В случае известных вероятностях , , …, выбора природой своих стратегий , , …, соответственно по критерию Лапласа рассматривается ожидаемый выигрыш . Ожидаемый выигрыш игрока А для его стратегии определяется как математическое ожидание выигрыша игрока А при выборе им этой стратегий: = , = 1, 2, …, . Оптимальная стратегия игрока А определяется аналогично выбору оптимальной стратегии при неизвестных вероятностях стратегий природы. Стратегия игрока А будет оптимальной, при которой достигается максимум ожидаемого выигрыша : = . Если платёжная матрица определяет проигрыши игрока А и целью его будет достижение наименьшего проигрыша, то, как и в случае с неопределёнными вероятностями, оптимальной выбирается та стратегия , для которой = .

Пример 3. Задана платёжная матрица = , определяющая выигрыши игрока А в игре с природой. Заданы вероятности, с которыми природа выбирает свои стратегии: =0, 1; =0, 5; =0, 3; =0, 1. По критерию Лапласа определить оптимальную стратегию игрока А, при которой он получит максимальный выигрыш. Решить игру с природой, когда матрица С определяет проигрыши игрока А и его целью становится получение минимального проигрыша.

Решение. Для определения оптимальной стратегии платёжную матрицу представим таблицей, в которой в последнем столбце определим средние выигрыша игрока А по каждой из своих стратегий, а также максимальный выигрыш (табл. 3).

Таблица 3

Таблица 4

Расчёт максимальных выигрышей игрока А для стратегий природы

	В₁	В₂	В₃	В₄
А₁
А₂
А₃
А₄
А₅
Максимальный выигрыш

Составим матрицу рисков, определяя её элементы по формуле: = .

= = . По матрице рисков определим гарантированные риски игрока А для каждой его стратегии по формуле: = (табл. 5). Также определим наименьший из гарантированных рисков.

Таблица 5

Расчёт оптимальной стратегии по минимальному гарантированному риску

	В₁	В₂	В₃	В₄	Гарантированный риск
А₁
А₂
А₃
А₄
А₅
Минимальный гарантированный риск

Оптимальными стратегиями будут стратегии А₁ и А₅. Наименьший гарантированный риск 7. Ответ: = ; =7. Отметим, что для стратегии А₁ наибольший риск будет при стратегии природы В₃. Выигрыш игрока А для этой пары стратегий составит =13. Для стратегии А₅ наибольший риск получится при стратегии природы В₁. Для этой пары стратегий выигрыш составит =15. Поэтому предпочтительнее в такой ситуации игроку А выбирать стратегию А₅.

При поиске минимального проигрыша игрока А оптимальной будет стратегия А₄ с наименьшим ожидаемым проигрышем 14, 2.

Пример 5. Задана платёжная матрица = . По критерию Сэвиджа определить оптимальную стратегию игрока А, при которой он получит минимальный проигрыш.

Решение. Для построения матрицы рисков в случае поиска минимального проигрыша в таблице проигрышей игрока А находим минимальные значения проигрышей для стратегии природы (табл. 8).

Таблица 8

Таблица 9

Таблица 10

Таблица 11

Таблица 12

Таблица 1

	В₁	В₂	В₃	В₄	Средний выигрыш
А₁					18, 25
А₂					16, 75
А₃					16, 5
А₄					15, 75
А₅					17, 75
Максимальный средний выигрыш	18, 25

Решение. Как и в первом примере строим таблицу (табл. 2). В последней строке записываем минимальный проигрыш.

Таблица 2

12 Следующая ⇒