Основные термодинамические процессы

Изохорный процесс

Работа при изохорном процессе равна нулю, т. к. при т. е. и

Элементарное количество теплоты; сообщаемое системе при изохор-ном процессе, согласно первому закону термодинамики и соотношению (2.5.9)

. (2.7.1)

Подставляя в (2.7.1) вместо производной ее выражение, найден-ное из (2.5.12), получаем

. (2.7.2)

После интегрирования последнего соотношения от состояния до состояния будем иметь выражение для вычисления изменения внутренней энергии при изохорном процессе:

, (2.7.3)

а также выражение для количества тепла полученного или отданного системой при том же процессе:

. (2.7.4)

Приведенные соотношения справедливы для любых агрегатных состояний вещества. Параметры состояния идеального газа на изохоре связаны соотношением (1.9.8):

Отсюда видно, что повышение температуры в сосуде, содержащем идеальный газ, всегда сопровождается ростом давления, при этом давление растет тем быстрее, чем меньше объем газа.

Нагрев реальных газов и жидкостей также приводит к росту давления, причем давление в жидкости растет значительно быстрее, чем в газе.

Изобарный процесс

Параметры состояния идеального газа на изобаре связаны соотноше-нием (1.9.7):

Отсюда видно, что чем выше температура газа, тем больше его объем. При этом величина объема на изобаре при повышении температуры растет тем быстрее, чем меньше давление.

Для реальных газов, жидкостей и твердых тел при нагревании также увеличивается объем на изобаре, (за исключением аномальных областей состояний четырех веществ: лед, германий, висмут, сурьма). Для харак-теристики термического расширения вещества при его изобарном нагре-вании вводят в рассмотрение коэффициент объемного расширения

. (2.7.5)

Как видно из формулы (2.7.5), коэффициент численно равен увеличению объема вещества, взятого в количестве , при его изобарном нагревании на 1К. В частности, используя уравнение нетрудно получить, что для идеального газа коэффициент равен:

(2.7.6)

т. е. приращение объема идеального газа при его изобарном нагревании уменьшается с ростом температуры.

Известно, что коэффициент для газов, значительно больше, чем для жидкостей и твердых тел.

Работа системы в изобарном процессе равна

(2.7.7)

Для идеального газа последнее выражение, очевидно, может быть пере-писано еще в одном виде:

. (2.7.8)

Количество теплоты, получаемое системой при нагревании (или отдаваемое системой при охлаждении) в изобарном процессе может быть найдено из первого закона термодинамики:

(2.7.9)

где – энтальпия или тепловая функция. Энтальпия является функцией состояния, так как и – функции состояния. Измеряется энтальпия в джоулях.

Интегрируя выражение от состояния до состояния , получим

. (2.7.10)

Таким образом, количество теплоты, получаемое системой при ее изобарном нагревании от состояния до состояния , равно разности энтальпий в этих состояниях.

Рассматривая энтальпию как функцию T и p, т. е. мо-жем записать

. (2.7.11)

Откуда следует, что

. (2.7.12)

В определение теплоемкости вещества при постоянном давлении

вместо подставим его выражение из (2.7.9). В результате будем иметь

. (2.7.13)

Из соотношений (2.7.13) и (3.7.12) следует, что

. (2.7.14)

Отсюда видно, что теплоемкость характеризует скорость роста энта-льпии Н при повышении температуры Т.

Проинтегрируем (2.7.12) от состояния до состояния .

(2.7.15)

Учитывая выражения (2.7.10) и (2.7.14), последнее равенство можно пе-реписать в виде

(2.7.16)

Если теплоемкость не зависит от температуры, то количество тепло-ты в изобарном процессе

(2.7.17)

Заметим, что энтальпия для идеального газа

(2.7.18)

и, таким образом, не зависит от давления, так же как и внутренняя энер-гия

Изотермический процесс

Равновесный процесс будет происходить при постоянной темпера-туре, если он протекает настолько медленно, что температура вещества все время успевает сравняться с температурой внешней среды.

Рассмотрим изотермическое изменение объема идеального газа. Из первого закона термодинамики следует, что работа расширения (сжатия) идеального газа равна количеству получаемого (отдаваемого) тепла

(2.7.19)

(2.7.20)

т. к. внутренняя энергия газа при дает Из формул (2.7.19–2.7.20) видно, что работа идеального газа при изотер-мическом процессе не может производиться за счет внутренней энергии, т. к. во время процесса , а производится только за счет получаемого тепла. При этом, если газ расширяется , то он совершает положительную работу и, согласно равенству (2.7.19), получает от внешней среды такое же количество тепла . Если же внешние тела совершают работу над газом при его изотер-мическом сжатии то он отдает внешней среде такое же количество тепла Таким образом, при изотермическом расширении идеальный газ полностью преобразует получаемое тепло в совершаемую работу. Как будет показано в дальнейшем, для реального газа, молекулы которого взаимодействуют, только часть получаемого тепла преобразуется в работу, оставшаяся часть при расширении газа идет на преодоление сил притяжения между молекулами.

Нетрудно вычислить работу при изотермическом расширении идеаль-ного газа. Пусть исходное состояние газа имеет координаты Тогда из уравнения изотермы следует, что

(2.7.21)

Подставляя последнее соотношение в определение работы (2.4.5), полу-чим

(2.7.22)

Используя уравнение изотермы , нетрудно выражение для работы (2.7.22) представить в следующем виде:

. (2.7.23)

На основании соотношения (2.7.20) формулы (2.7.22–2.7.23) пригодны и для вычисления количества тепла, необходимого для изотермического расширения или сжатия идеального газа.

Адиабатный процесс.

Адиабатным называют такой процесс, в котором к системе не подво-дится тепло и от системы не отводится тепло. При адиабатном процессе должна быть обеспечена идеальная теплоизоляция от внешней среды, в отличие от изотермического процесса, требующего идеального тепло-вого контакта со средой. В реальных условиях процесс является адиа-батным, если система снабжена хорошей теплоизоляцией или если про-цесс протекает настолько быстро, что не происходит заметного тепло-обмена с внешней средой.

Из первого закона термодинамики следует, что при адиабатном про-цессе работа производится только за счет изменения внутренней энергии вещества:

. (2.7.24)

Соотношение (2.7.24) можно записать и в интегральной форме:

. (2.7.25)

Если вещество расширяется и совершает работу над внешними телами, то и, как следует из (2.7.25), , т. е. внутренняя энергия вещества уменьшается. Это и понятно: в адиабатном процессе к системе нет притока теплоты извне и единственный источник энергии для совершения работы – это внутренняя энергия самой системы. Соотношения (2.7.24–2.7.25) справедливы для любых адиабатных процессов: равновесных или неравновесных, для любых веществ, находящихся в любых агрегатных состояниях, так как они являются следствием закона сохранения энергии.

Для идеального газа формула (2.7.24) приобретает вид:

(2.7.26)

Отсюда видно, что при адиабатном расширении газ охлаж-дается , а при адиабатном сжатии газ нагревается , хотя теплота при этом процессе не подводится и не отводится.

Проинтегрировав соотношение (2.7.26), найдем работу, совершаемую идеальным газом при адиабатном процессе.

(2.7.27)

Теплоемкость вынесена из-под интеграла, т. к. для идеального газа она не зависит от температуры.

Чтобы найти уравнение адиабаты в переменных подставим в формулу (2.7.26) вместо p его выражение из уравнения Менделеева –Клапейрона В результате будем иметь

(2.7.28)

Интегрирование последнего соотношения дает

(2.7.29)

Откуда находим

. (2.7.30)

Выразим величину через отношение теплоемкостей В результате будем иметь Подставив это значение в (2.7.30), получим

. (2.7.31)

Последнее соотношение есть уравнение адиабаты (уравнение Пуассона) в переменных T, V. Чтобы записать это уравнение в координатах p, V или T, p нужно произвести замену соответствующих переменных в (2.7.31), воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона. В результате получим еще два эквивалентных уравнения адиабаты:

(2.7.32)

(2.7.33)

Выражение для работы (2.7.27) можно записать иначе. Для этого уравнение адиабаты (2.5.31) представим в виде:

. (2.7.34)

Отсюда находим

. (2.7.35)

Подставляя (2.7.35) в (2.7.27) и учитывая что

получим

. (2.7.35a)

Из уравнения Пуассона (2.7.32) следует, что давление идеального газа в адиабатном процессе убывает быстрее, чем в изотерми-ческом процессе , так как всегда и, таким обра-зом, . Физически это объясняется тем, что при адиабатном расши-рении давление газа уменьшается не только за счет уменьшения объема, но и по причине происходящего при этом понижении температуры. Поэтому и работа против меньшего внешнего давления ( для равновесного процесса) при адиабатном процессе будет меньше, чем работа против большего внешнего давления при изотерми-ческом процессе. На рис. 29 работа расширения от объема до объема при адиабатном процессе равна площади фигуры , а при изотермическом – площади фигуры .

Р и с. 29

Наоборот, при адиабатном сжатии от объема до объема давление газа растет быстрее, чем при изотермическом процессе, так как при адиабатном процессе давление увеличивается не только за счет уменьшения объема, но и вследствие роста температуры газа. Поэтому и работа при адиабатическом сжатии, равная площади фигуры больше работы сжатия при изотермическом процессе, равной площади фигуры .

В заключение параграфа заметим, что согласно (2.7.25) изменение внутренней энергии при адиабатном процессе можно вычислять по формулам (2.7.27) и (2.7.27a).

Политропные процессы.

Ранее рассматривались процессы, у которых имелись четко определе-нные постоянные признаки: изохорный процесс осуществлялся при пос-тоянном объеме, изобарный – при постоянном давлении, изотермический – при постоянной температуре, адиабатный – при отсутствии теплооб-мена между веществом и внешней средой. Ясно, что наряду с этими процессами можно представить множество процессов, у которых имеются другие постоянные признаки.

Известно, что реальные процессы сжатия в газовых двигателях, компрессорах и т. д., как правило, не являются ни изотермическими, ни адиабатными, а занимают некоторое промежуточное положение в том смысле, что уравнение этих реальных процессов имеет показатель степени отличный от и от . Это так называемые политропные процессы.

Всякий процесс, в котором теплоемкость является постоянной величиной, называют политропным.

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Для этого в первый закон термодинамики

вместо элементарного количества тепла подставим , вместо изменения внутренней энергии – и вместо элементарной работы В результате получим:

. (2.7.36)

Из уравнения Менделеева – Клапейрона найдем

. (2.7.37)

Подставим (2.7.37) в (2.7.36). В результате будем иметь:

(2.7.38)

Учитывая, что для идеального газа , получим:

. (2.7.39)

Разделим обе части последнего равенства на В результате оно примет вид:

(2.7.40)

Введя обозначение

(2.7.41)

проинтегрируем обе части выражения (2.7.40). В результате интегри-рования получаем:

Упрощая последнее соотношение, окончательно запишем:

(2.7.42)

Это и есть искомое уравнение политропного процесса. Используя уравнение Менделеева – Клапейрона, легко получить уравнение поли-тропы в других переменных:

(2.7.43)

(2.7.44)

Из формулы (2.7.41) нетрудно найти выражение для теплоемкости политропного процесса через показатель политропы

(2.7.45)

Уравнение (2.7.45) позволяет определить теплоемкость политроп-ного процесса если известен показатель политропы Последний опре-деляется из экспериментальных данных. Пусть в начальном состоянии давление и объем газа были равны соответственно в конечном – Тогда из уравнения политропы (2.7.42) находим

(2.7.46)

Подставив в (2.7.46) найденные из опыта величины, определим для данного реального процесса величину

Покажем, что из уравнений политропного процесса как частный случай следуют четыре ранее рассмотренных процесса.

1. В изохорном процессе теплоемкость . Тогда знаменатель в (2.7.41) обращается в нуль, а числитель не равен нулю, так как . Поэтому показатель политропы Причем если теплоем-кость при стремлении к все время остается меньше , в этом случае , и, как видно из (2.7.41), Величина если теплоемкость при стремлении к все время остается больше , тогда , но в пределе и, таким образом, При этом из уравнения политропы (2.7.44) получим:

Откуда следует уравнение изохоры .

2. В изобарном процессе теплоемкость и , т. к. . Тогда из уравнения политропы (2.7.43) имеем:

Отсюда следует уравнение изобары

3. В изотермическом процессе теплоемкость Тогда для показателя политропы получаем:

Подставляя это значение в уравнение политропы (2.7.42), получим уравнение изотермы .

4. Наконец, в адиабатном процессе и . В этом случае из уравнения политропы (2.7.42) следует уравнение адиабаты .

Используя результаты этих четырех случаев, а также формулу (2.7.45), можно построить график зависимости теплоемкости C политропного процесса от показателя политропы .

Р и с. 30

Из рис. 30 видно, что теплоемкость , если показатель политропы принимает значение на интервалах и Этот результат следует из (2.7.45). В самом деле, если , то , т. к. всегда и, таким образом, ; если же , то , т. к. и снова

Из рис. 30 также видно, что политропный процесс, характеризу-емый показателем , имеет отрицательную теплоемкость. Это тоже следует из формулы (2.7.45). Действительно, в этом случае , и теплоемкость

Р и с. 31.

Интересно посмотреть расположение и характер уравнения политропы в переменных . На рис. 31 в качестве начального состо-яния газа взята точка А, через которую проведены кривые, соответс-твующие изохорному, изобарному, изотермическому и адиабатному процессам как в сторону расширения газа, так и в сторону его сжатия. Вся плоскость , таким образом, разбилась на восемь областей с определенными свойствами. Линии процессов, начинающиеся в точке А и расположенные в областях 1–4, соответствуют расширению газа и он, таким образом, производит работу против внешних сил , а в областях 5–8 происходит сжатие газа и над ним совершается работа . Процессы, начинающиеся в точке A и лежащие в областях 4–7, совершаются с отводом теплоты, а в областях 1–3 и 8 – с подводом теплоты. Изотерма, вдоль которой внутренняя энергия идеального газа не изменяется делит всю плоскость на две области, в одной из которых (области 1, 2, 7, 8) внутренняя энергия газа возрастает (увели-чивается температура), в другой (3–6) – убывает (уменьшается темпе-ратура газа). Политропные процессы, протекающие в областях 3 и 6, имеют отрицательную теплоемкость. В пределах области 3 процессы происходят с подводом теплоты и с уменьшением температуры газа, а в области 6 совершаются с увеличением температуры газа и отводом теплоты.

Если теплоемкость политропного процесса известна, то элементарное

количество теплоты полученное (отданное) идеальным газом в этом процессе, находится по формуле (2.5.4):

(2.7.47)

Подставляя в последнее соотношение выражение теплоемкости из (2.7.45) и интегрируя его с учетом того, что для политропного процесса , получим формулу для количества тепла:

. (2.7.48)

Отметим, что теплота, полученная идеальным газом при политропном процессе, в общем случае расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение внешней работы.

Так как внутренняя энергия является функцией состояния, то ее из-менение для любого процесса идеального газа

(2.7.49)

Составим соотношение из выражений (2.7.48–2.7.49)

. (2.7.50)

Коэффициент показывает, какая часть тепла, полученная при поли-тропном процессе, идет на увеличение внутренней энергии и опреде-ляется через показатели политропы и адиабаты. К примеру, для изохорного процесса , т. е. все подведенное к газу тепло при изохорном процессе идет на увеличение его внутренней энергии.

Аналогично вводится коэффициент

(2.7.51)

который показывает, какая часть тепла, полученная при политропном процессе, идет на совершение работы против внешних сил. Так, например, для изохорического процесса , т. е. внешняя работа в этом процессе не совершается. Легко видеть, что

Найдем работу, совершаемую в политропном процессе. Из уравнения политропы определим давление и подставим его в (2.4.5):

(2.7.52)

Выполняя интегрирование, получим:

(2.7.53)

где – соответственно давление, объем и температура газа в начальном состоянии, – объем в конечном состоянии.

Из уравнения политропы найдем и подставим в (2.7.53). В результате будем иметь еще одно выражение для работы в политропном процессе:

(2.7.54)

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒