Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Характеристика систем MathCad




MathCAD – это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, математики и статистики. Название происходит от двух слов –– MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design –– системы автоматического проектирования, или САПР).

MathCAD остается единственной системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. Данный пакет предоставляет пользователю интерфейс WYSIWYG (What You See Is What You Get (что видишь, то и получишь) –– это соглашение означает, что вид выражения на экране полностью совпадает с тем, что передано процессору для обработки). Система MathCAD существует в нескольких осн. вариантах:

MathCAD Standard – идеальная система для повседневных технических вычислений.

MathCAD Professional – промышленный стандарт прикладного использования математики в технических приложениях. Ориентирована на математиков и научных работников, проводящих сложные и трудоемкие расчеты.

MathCAD Professional Academic – пакет программ для профессионального использования математического аппарата с электронными учебниками и ресурсами. Интерфейс окна программы.

Верхняя строка окна — стандартная строка windows-приложений. В ней слева приведено имя приложения — Mathcad Professional, затем имя файла, в котором сохраняются результаты работы, а спра­ва — три стандартные функциональные кнопки для работы с окнами Windows, означающие: свернуть, развер­нуть на полный экран и закрыть окно приложения.

Вторая строка экрана — строка меню.

Меню имеет набор стандартных для windows-приложений пунктов: File (Файл), Edit (Редактировать), View (Просмотр), Format (Фор­мат), Window (Окно), Help (Помощь) и специфические для Mathcad пункты: Insert (Вставка), Math (Математика), Symbolics (Символь­ные операции). Следующие две строки окна содержат панели инструментов, стандартные для windows-приложений. Отдельно располагается панель инструментов для выполнения математических операций, которую называют панелью математических инструментов или панелью математических операций.

Под строками панелей инструментов находится окно рабочего до­кумента Mathcad — пространство, в котором располагаются все вве­денные команды и выражения, куда Mathcad выводит результаты вычислений и графики, и где размещаются текстовые комментарии. Содержимое этого окна можно редактировать, форматировать, сохра­нять в файлах на диске, печатать и др. Нижняя строка окна — строка состояния. В ней записаны рекомендации к дальнейшим действиям, описано текущее состояние среды и указан номер отображенной на экране страницы рабочего документа.

Фактически система Mathcad интегрирует в себе три редактора: формульный, текстовый и графический. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение – слева направо и сверху вниз.

Характеристика системы Mathematica

Пользовательский интерфейс системы задается одной из 2х осн. частей системы - интерфейсного процессора front-end и ядра системы kernel. В правой части экрана показана одна из палитр системы - палитра ввода мат. выражений. Для ее вывода надо выполнить команду Basiclnput в подменю Palettes позиции File главного меню. При этом запускается специальный файл, выводящий данную палитру. Для получения естественной формы шаблона математического выражения в строках ввода надо изменить их обычный формат InputForm на формат StandartForm. Для этого надо задать InputForm в позиции Cell главного меню - команда Convert To... Инструментальные панели, предназначенные для вывода математических спецзнаков, намного облегчают их ввод и упрощают работу по подготовке документов. Панель главного меню имеет две строки: с названиями системы и загруженного файла и с позициями главного меню. Главное меню системы содержит следующие позиции:

File - работа с файлами, Edit – осн. операции редактирования (отмена операции, копирование выделенных участков.), Cell - работа с ячейками, Format - установка форматов документа, Input- задание элементов ввода, Kernel - управление ядром системы, Find - поиск заданных данных, Window - операции с окнами и их расположением, Help - управление справочной системой.



Каждая позиция меню порождает подменю, содержащее относящиеся к ней команды. Названия невыполнимых в данный момент времени команд выделяются характерным серым расплывчатым шрифтом.

Для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно. Вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Каждый шаг вычислений следует снабжать поясняющими записями. Их можно непосредственно вводить в строку ввода, а затем форматировать в текстовый формат подходящего стиля. Каждая надпись, математическое выражение или график занимает отдельную ячейку - Cell. Ячейка может содержать одну или несколько строк и всегда выделена своей квадратной скобкой. Размеры ячейки не фиксированы и в нее нельзя помещать одновременно как входные данные, так и результаты вычислений.

 

Типы данных математических систем: числа и числовые константы, переменные, строковые данные, сложные типы данных в MathCAD, Mathematica, Maple. Операторы, функции и выражения.

MAPLE.

1) Maple работает с числами следующего типа: целыми, рациональными в виде отношения целых чисел, вещественными с мантиссой и порядком (1.23Е5, 123.4567Е-10).. Ввод и вывод чисел имеет следующие особенности: для отделения целой части мантиссы от дробной используется разделительная точка; нулевая мантисса не отображается (число начинается с разделительной точки); мантисса отделяется от порядка пробелом, который рассматривается как знак умножения; мнимая часть комплексных чисел задается умножением ее на символ мнимой единицы I..

2) Тип переменной в системе Maple определяется присвоенным ей значением — это могут быть целочисленные (integer), рациональные (rational), вещественные (real), комплексные (complex) или строчные (string) переменные. Переменные могут также быть символьного типа или типа списка. Для явного указания типа переменных используется конструкция: name::type, где name — имя (идентификатор) переменной, type — тип переменной, например целочисленный (integer), вещественный с плавающей точкой (float), с неотрицательным значением (nonneg), комплексный (complex) и т. д.

3) Строки как тип данных — это просто цепочки символов. Они обычно используются для создания текстовых комментариев. Строки должны каким-либо образом выделяться, чтобы Maple не отождествляла их с именами констант и переменных. Для этого строки-комментарии заключены в обратные апострофы.

4) Любые выражения могут включаться в наборы. Такие наборы в виде множеств создаются с помощью фигурных скобок { }. Отличительная черта множеств — автоматическое устранение из них повторяющихся по значению элементов.

5) списки, массивы матрицы и векторы: Важным типом данных являются списки (lists). Они создаются с помощью квадратных скобок, Для создания векторов (одномерных массивов) и матриц (двумерных массивов) служит функция array. Обычно она используется в следующих формах:

аrrау[а. .b,s1] — возвращает вектор с индексами от а до b и значениями в одномерном списке s1;

аrrау[а. .b,c. .d,s2] — возвращает матрицу с номерами строк от а до b, номерами столбцов от с до d и значениями в двумерном списке s2.

6) Таблицы задают данные с произвольной индексацией. Для создания таблиц служит функция table, которая при вызове в простейшем виде table[] создает шаблон пустой таблицы. Пустая таблица резервирует память под данные.

Операторы во входном языке и языке программирования Maple служат для конструирования выражений. Операторы, как это вытекает из их названия, обеспечивают определенные операции над данными, представленными операндами. Имеется пять основных типов операторов:

binary — бинарные операторы (двумя операндами); unary — унарные операторы (с одним операндом); nullary — нульарные операторы (без операнда — это одна, две и три пары кавычек); precedence — операторы старшинства (включая логические операторы); functional — функциональные операторы.

Функция задается вводом ее имени и списком параметров, заключенных в круглые скобки. Maple имеет полный набор элементарных математических функций. Все они, кроме арктангенса двух аргументов, имеют один аргумент х, например sin(x). Он может быть целым, рациональным, дробно-рациональным, вещественным или комплексным числом.

Пользовательский интерфейс системы Maple позволяет представлять выражения в различных формах, в том числе в естественном математическом виде. Выражения могут оцениваться и изменяться в соответствие с заданными математическими законами и правилами преобразований. В строке кода может располагаться несколько выражений, в таком случае используется знак “:” для разделения выражений. Ввод выражения оканчивается нажатием клавиши Enter. Если нужно перевести ввод на новую строку следует нажать Shift+Enter.

MATHEMATICA.

Типы данных: Mathematica оперирует с тремя основными классами данных: численными данными, представляющими числа различного вида; символьными данными, представляющими символы, тексты и математические выражения (формулы); списками — данными в виде множества однотипных или разнотипных данных. Каждый из этих классов данных в свою очередь имеет ряд специальных, более частных типов данных.

1) Целочисленные данные (Integer) — это целые числа, которые представляются системой без погрешности и ограничения разрядности. Числа с произвольным основанием - для вычисления чисел с произвольным основанием используется конструкция: Основание^^Число. Число должно быть записано по правилам записи чисел с соответствующим основанием. (например: 16^^3F2).

Численные данные могут быть представлены также десятичными вещественными числами, которые могут иметь различную форму.

2) строки: Символьные строки задаются цепочкой символов в кавычках, например "sssss". В них используются следующие управляющие символы для строчных объектов: \n— новая строка (line feed); \ t — табуляция.

3) Наиболее общим видом сложных данных в системе являются списки (lists). Списки представляют собой совокупности однотипных или разнотипных данных, сгруппированных с помощью фигурных скобок.

4) Константы являются типовыми объектами системы, несущими заранее предопределенное численное или символьное значение. Это значение не должно меняться по ходу вычисления документа. К численным константам относятся любые числа, непосредственно используемые в математических выражениях или программных объектах, например процедурах и функциях. Имеется также ряд именованных констант, которые можно рассматривать как функции без аргумента, возвращающие заранее заданное значение. (Например: Degree — число радиан в одном градусе, которое имеет числовое значение Pi/180. Е- основание натурального логарифма.)

5) Переменными в математике принято называть именованные объекты, которые могут принимать различные значения, находящиеся в определенном множестве допустимых значений.. Заранее объявлять тип переменной не требуется. Он определяется операцией присваивания переменной некоторого значения.

Выражения: Для записи математических выражений используются как операторы, так и функции. Знак умножения может быть заменен пробелом; встроенные функции начинаются с большой буквы и обычно повторяют свое общепринятое математическое обозначение; параметры функций задаются в квадратных скобках [ ]; фигурные скобки {} используются при задании списков.

Операторы: Арифметические операторы: математические выражения в системе Mathematica записываются с помощью операторов и функций. Операторы (от слова operator — исполнитель) являются элементами записи математических выражений, указывающими на то, какие действия производятся над символьными или числовыми данными. Когда эти данные используются совместно с операторами, их называют операндами. К основным операторам относят операторы +,-,*,/,^ , //N – приближенное значение выражения и др.Ллогическими принято называть операции, отражающие чисто логическое соответствие между данными. Для осуществления логических операций используются следующие логические операторы: ! = неравенство; >, >=; <; <=; ==.

Функции: Признаком функции является возврат результата выполняемого ею действия. Характер результата будет зависеть от смысла функции, который нередко явно указывается ее именем — идентификатором. Понятие функции в системе Mathematica существенно расширено — функции могут возвращать графические и даже звуковые объекты. Обычно они имеют один или несколько параметров, указываемых в квадратных скобках. Если параметров несколько, то в квадратных скобках указывается список параметров, разделенных запятыми.

 

50. Работа с текстом и формулами, правила набора математических текстов в программах MathCAD, Mathematica, Maple.

· Фактически система Mathcad интегрирует в себе три редактора: формульный, текстовый и графический. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение – слева направо и сверху вниз Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе.

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способа­ми: выбором операции в меню; с помощью кнопочных панелей инструментов; обращением к соответствующим функциям. Способы вставки встроенной функции:

1. Выбрать пункт меню Вставка Þ Функция.

2. Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

3. Щелкнуть на кнопке .

При выполнении простых вычислений можно отметить следующие особенности работы Mathcad:

1. в качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменно

2. Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, вызываемое нажатием клавиши : на клавиатуре, такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. Однако с помощью знака º (клавиша ~ на клавиатуре) можно обеспечить глобальное присваивание. MathCAD прочитывает весь документ дважды слева направо и сверху вниз. При первом проходе выполняются все действия, предписанные глобальным оператором присваивания (º), а при втором – производятся действия, предписанные локальным оператором присваивания (:=), и отображаются все необходимые результаты вычислений (=). Существуют также жирный знак равенства = (комбинация клавиш Ctrl + =), который исп-ся, например, как оператор приближенного равенства при решении систем уравнений, и символьный знак равенства ® (комбинация клавиш Ctrl + .).

3. Оператор умножения вводится как звездочка, но представляется точкой в середине строки;

4. Mathcad вставляет пробелы до и после арифметических операторов; оператор деления вводится как косая черта, но заменяется горизонтальной чертой;

5. оператор возведения в степень вводится знаком ^, но число в степени представляется в обычном виде (степень как верхний индекс);

6. по умолчанию десятичные числа имеют представление с тремя знаками после разделительной точки;

7. Mathcad понимает наиболее распространенные константы, например, е –– основание натурального логарифма;

8. математические выражения могут редактироваться внутри формульного блока с использованием для этого курсора ввода и типовых приемов редактирования.

В основе пользовательского интерфейса Maple лежит графический многооконный интерфейс операционной системы Windows. Управление системой Maple возможно с помощью главного меню, панелей инструментов и палитр, а также «горячих» клавиш.

В меню View находится список палитр Palettes, предназначенных для ввода математических знаков:

SYMBOL — ввод отдельных символов (греческих букв и некоторых математических знаков);

EXPRESSION — ввод шаблонов математических операторов и операций;

MATRIX — ввод шаблонов матриц разных размеров;

VECTOR — ввод шаблонов векторов разных размеров и типов (векторы-столбцы или векторы-строки).

После загрузки и запуска системы можно начать диалог с ней, используя ее операторы и функции (с параметрами) для создания и вычисления математических выражений.

Во избежании ошибок при работе рекомендуется исполнить команду restart, которая снимает определения со всех использованных ранее переменных и позволяет начать вычисления «с чистого листа».

Диалог идет в стиле: «задал вопрос, получил ответ». Вопросы и ответы занимают отдельные блоки, выделяемые в левой части квадратными скобками. Длина квадратных скобок зависит от размера выражений — исходных (вопроса) и результатов вычислений (ответов на вопросы). Знак > является знаком приглашения к заданию вопроса. Мигающая вертикальная черта | — маркер ввода (курсор).

Ввод выражений (вопросов) задается по правилам, давно принятым для строчных редакторов (клавиша Ins, <- и ->, клавиша Backspace, клавиша Del им др.).

Знак фиксации конца выражения : (точка с запятой) указывает, что результат его вычисления должен быть выведен на экран, а знак : (двоеточие) отменяет вывод и может использоваться как знак разделителя при записи нескольких выражений в одной строке. Клавиши перемещения курсора позволяют передвигаться по ранее введенным строкам на экране.

Помимо функций в математических системах для записи математических выражений используются специальные знаки — операторы. К примеру. Достаточно хорошо известны операторы сложения +, вычитания -, умножения *, деления / и некоторые другие. Операторы обычно используются с операндами в виде констант или переменных, например в записи 2* (3+4) числа 2, 3 и 4 — это операнды, а знаки * и + — операторы. Скобки используются для изменения порядка выполнения операций. Самым распространенным оператором является оператор присваивания :=. Он используется для задания переменным конкретных значений. Другой распространенный оператор — оператор равенства = — используется для задания равенств и логических условий (например, а=b), указания областей изменения переменных и определения значений параметров в функциях и командах (например, color=b1ack для задания черного цвета у линий графиков).

Операторы сами по себе результат не возвращают. Но они, наряду с функциями и своими параметрами (операндами), позволяют конструировать математические выражения, которые при их вычислении также возвращают результат.

При работе с системой Maple 7 надо строго придерживаться правил корректного ввода выражений и иных объектов Maple-языка, называемых синтаксисом языка.

Пользовательский интерфейс системы Maple для Windows позволяет представлять как вводимые, так и выводимые выражения в самых различных формах, в том числе в естественном математическом виде.

Выражения в Maple могут оцениваться и изменяться в соответствии с заданными математическими законами и правилами преобразований. Например, функция упрощения выражений simplify способна упрощать многие математические выражения, записанные в качестве ее параметра.

Для выполнения любых математических операций необходимо обеспечить ввод в систему исходных данных — в общем случае математических выражений. Для ввода их и текстовых комментариев служат два соответствующих типа строк ввода. Переключение типа текущей строки ввода осуществляется клавишей F5. Строка ввода математических выражений имеет отличительный символ >, а строка ввода текстов такого признака не имеет.

В строке ввода может располагаться несколько выражений. Фиксаторами (указанием, что выражение окончено) их могут быть символы ; (точка с запятой) и : (двоеточие). Символ «:» фиксирует выражение и задает вывод результатов его вычисления. А символ «:» фиксирует выражение и блокирует вывод результатов его вычисления. Фиксаторы выполняют также функцию разделителей выражений, если в одной строке их несколько.

Ввод выражения оканчивается нажатием клавиши Enter. При этом маркер ввода (жирная мигающая вертикальная черта) может быть в любой позиции строки. Если надо перенести ввод на новую строку, следует нажимать клавиши Shift и Enter совместно. С помощью одного, двух или трех знаков % можно вызывать первое, второе или третье выражение с конца сессии.

Работа в пакете Mathematica похожа на работу в пакете Maple, но имеет свои особенности, например: для оценивания значения выражения используется комбинация клавиш Shift+Enter, для перехода на новую строку внутри одной ячейки – клавиша Enter. Все встроенные функции и операторы записываются с заглавной буквы, аргументы функций и операторов записываются в квадратных скобках. Фигурные скобки используются для ограничения групп выражений, опций и т.д. Оператор присваивания записывается в двух формах: «=» - при этом присвоенный результат при оценивании выводится на экран; и «:=» - результат на экран не выводится. В конце выражения точка с запятой ставится только в том случае, если результат выполнения на экран выводить не надо. Для ввода выражений можно использовать запись на встроенном языке с соблюдением его синтаксиса, а также палитрами инструментов, вывести которые можно используя пункт меню Файл. Для очистки значений переменных используется команда Clear[переменная].

Решение задач линейной алгебры средствами систем компьютерной математики: матричные операции в MathCAD, Mathematica, Maple; решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в данных пакетах. Использование в MathCAD различных методов (метода Гаусса, метода Крамера, метода итерации) для решения систем линейных уравнений.

Определение и ввод матрицы в рабочий документ Mathcad. Чтобы определить матрицу, нужно:

· ввести с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания;

· щелкнуть по кнопке Vector or Matrix Toolbar в панели математических инструментов;

· открыть щелчком по кнопке Matrix or Vector окно диалога определения размерности матрицы и ввести размерность матрицы;

· закрыть окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

В рабочем документе открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, нужно установить курсор в помеченной позиции и ввести с клавиатуры число или выражение. Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора, хранится в Mathcad в переменной ORIGIN (обязательно заглавными буквами). По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, удобно перед началом работы с матрицами определять значение переменной ORIGIN равным 1, выполнять команду ORIGIN:=1.

Панель векторных и матричных операций открывается щелчком по кнопке Vector and Matrix Toolbar в панели математических инструментов.

За кнопками панели закреплены следующие функции: определение размеров матрицы; ввод нижнего индекса; вычисление обратной матрицы; вычисление определителя матрицы: |A|=det A; вычисление длины вектора |x|; поэлементные операции с матрицами, определение столбца матрицы, транспонирование матрицы и др.

Меню символьных операций с матрицами (пункт Matrix меню Symbolics) содержит три функции: транспонирование (Transpose), обращение матрицы (Invert), вычисление определителя матрицы (Determinant).

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы.

1.Функции определения матриц и операций с блоками матриц.

2.Функции отыскания различных числовых характеристик матриц.

3.Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix(m, n, f) — создает и заполняет матрицу размерности m xn;

diag(v) — создает диагональную матрица, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) — создает единичную матрицу порядкаn;

augment(A, B) — формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних — матрица B;

submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir <= jr, ic <= jc.

Функции отыскания различных числовых характеристик матриц:

last(v) — вычисление номера последнего элемента вектора v;

lenght(v) — вычисление количества элементов v вектора;

rows(A) — вычисление числа строк в матрице A;

cols(A) — вычисление числа столбцов в матрице A;

max(A) — вычисление наибольшего элемента в матрицы A;

min(A) –– вычисление наименьшего элемента в матрице А;

rank(A) — вычисление ранга матрицы A;

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

eigenvals(A) — вычисление собственных значений квадратной матрицы А ;

eigenvecs(A) — вычисление собственных векторов квадратной матрицы А;

eigenvec(A, l) — вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. (Часто за них принимают столбец свободных членов). Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

Ввести уравнения и неравенства в любом порядке. Использовать [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ³ и £.

Ввести любое выражение, которое включает функцию Find: Find(z1, z2, …) - Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Cистему из n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn

можно представить в виде матричного уравнения Ах = b, где

Для решения такого уравнения через обратную матрицу в системе Mathcad нужно:

1. Установить режим автоматических вычислений. 2. Ввести матрицу системы и матрицу-столбец правых частей. 3. Вычислить решение системы по формуле x=A-1b. 4. Проверить правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.

При нахождении решения СЛУ методом Гаусса в Mathcad нужно:

1. установить режим автоматических вычислений; 2. присвоить переменной ORIGIN значение, равное 1; 3. ввести матрицу системы и матрицу-столбец правых частей; 4 сформировать расширенную матрицу системы; 5 привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду; 6 сформировать столбец решения системы; 7 проверить правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.

Прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

Формат: rref(A) — приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором.

При нахождении решения СЛУ по формулам Крамера в Mathcad нужно:

1. установить режим автоматических вычислений; 2. присвоить переменной ORIGIN значение, равное 1; 3. ввести матрицу системы и столбец правых частей; 4. вычислить определитель матрицы системы. 5. вычислить определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей; 6 найти решение системы по формулам Крамера.

Для решения СЛУ методом итерации в Mathcad нужно:

1. установить режим автоматических вычислений; 2. преобразовать исходную систему Сх=d к виду х=b+Ax; 3. ввести матрицы А и b; 4. проверьте достаточное условие сходимости; 5 определите нулевое (начальное) приближение решения; 6. задать количество итераций; 7. ввести формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислить их; 8. вывести на экран матрицу приближенных решений; 9. вычислить погрешность найденного приближения.

В Mathcad существуют специальные функции для вычисления норм матриц:

normi(A) –– возвращает неопределенную норму матрицы А.

norm1(A) –– возвращает L1, норму матрицы А.

norme(A) –– возвращает Евклидову норму матрицы А.

Функции для операций линейной алгебры системы Mathematica:

Det[m] - возвращает детерминант (определитель) квадратной матрицы m;

DiagonalMatrix[list| - возвращает диагональную матрицу с главной диагональю, сформированной из элементов списка list, и нулевыми остальными элементами мат­рицы;

IdentityMatrix[n] - возвращает единичную матрицу с размером nхn (у нее диаго­нальные элементы имеют значения 1, остальные 0);

Inverse[m] - возвращает обратную матрицу для квадратной матрицы m, т.е. мат­рицу m-1, которая будучи умноженной на исходную матрицу дает единичную матрицу;

LinearSolve[m, b] - возвращает вектор х - решение матричного уравнения m.x==b, где m - матрица коэффициентов левой части системы линейных уравнений, х - вектор неизвестных и b - вектор свободных членов в правой части системы;

MatrixPower[m, n] - возвращает n-ную степень матрицы m;

Minors[m, k] - возвращает матрицу, составленную из определителей всех k x k суб­матриц m;

Traspose[m] - возвращает транспонированную матрицу, у которой столбцы и стро­ки меняются местами в сравнении с матрицей m;

RowReduce[m) - возвращает приведенную к строке форму матрицы m;

и другие.

Для решения уравнений (как одиночных, так и систем) в системе Mathematica в численном или символьном виде используется следующая функция:

Solve[eqns, vars] – предпринимает попытку решить уравнение или систему уравнений относительно переменных vars

Solve[eqns, vars, elims] – пытается решать уравнения по переменным vars, исключая переменные elims

Для решения алгебраических уравнений в Maple и систем используют команду solve. При достаточном количестве времени и памяти Maple всегда отыщет решение системы линейных уравнений. Для численного решения можно использовать команду fsolve. При этом, по умолчанию, Maple ищет вещественные решения. Для решения систем линейных уравнений, заданных в матричной форме, используют команду linalg[linsolve] из пакета линейной алгебры.

 

Использование пакетов MathCAD, Mathematica, Maple для решения задач математического анализа: дифференцирование функций одного и нескольких переменных; вычисление неопределенных, определенных и кратных интегралов; нахождение численного и аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка

Выражение для производной функции в MathCAD можно найти двумя способами: с помощью панели инструментов Calculusи через меню символьных операций Symbolics. Чтобы найти производную первым способом, нужно: щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, затем выбрать в панели Calculusкнопку (или нажать на клавиатуре ?), ввести с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента; заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций SymbolicKeyword).

Чтобы найти производные высших порядков, нужно: щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, выбрать в панели Calculusкнопку (или нажать на клавиатуре комбинацию клавиш Ctrl+Shift+?), ввести с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента; заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций SymbolicKeyword).

Чтобы найти производную с помощью меню, нужно: ввести в рабочий документ выражение для функции; выделить аргумент и щелкнуть по строкеDifferentiate в пункте Variable менюSymbolics.

Символьное вычисление неопределенного интеграла в Mathcad можно выполнить двумя способами: с помощью панели инструментов Calculusи через меню символьных операций Symbolics.

Чтобы найти неопределенный интеграл первым способом, нужно: щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, выбрать в панели Calculus кнопку (или нажать комбинацию Ctrl+I), ввести с клавиатуры в помеченных позициях выражение ф-и и имя перем-ой интег-ия; заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций SymbolicKeyword).

Чтобы вычислить определенный интеграл, нужно: щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, выбрать в панели Calculus кнопку (или нажать на клавиатуре клавишу &), ввести с клавиатуры в помеченных позициях выражение функции, имя переменной интегрирования и пределов интегрирования; заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций SymbolicKeyword).

Чтобы найти неопределенный интеграл с помощью меню, нужно:

o ввести в рабочий документ выражение для интегрируемой функции;

o выделить аргумент и щелкнуть по строкеIntegrate в пункте Variable менюSymbolics.

Для решения дифференциальных уравнений Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений.

Встроенная функция odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной. В отличие от других функций библиотеки Differential Equation Solving, odesolve решает дифференциальные уравнения, записанные в общепринятом в математической литературе виде. Функция odesolve решает для уравнений вида
a(x) y(n) + F(x, y, y' , ..., y(n-1) )=f(x) задачу Коши
y(x0 )=y0 , y'(x0 )=y0,1 , y''(x0 )=y0,2 , ..., y(n-1)(x0 )=y0,n-1 или простейшую граничную задачу y(k) (a)=ya,k , y(m) (b)=yb,k , 0<= k<= n-1, 0<= m<= n-1.

Функция odesolve решает поставленную задачу методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом. Обращение к функции имеет вид Y:=odesolve(x,b,step) илиY:=odesolve(x,b), где Y - имя функции, содержащей значения найденного решения, x — переменная интегрирования, b — конец промежутка интегрирования, step — шаг, который используется при интегрировании уравнения методом Рунге-Кутты.

Перед обращением к функции odesolve необходимо записать ключевое слово Given, затем ввести уравнение и начальные либо граничные условия. При вводе уравнения и условий задачи используется знак символьного равенства (<Ctrl>+<=>), а для записи производных можно использовать как оператор дифференцирования, так и знак производной.

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:

rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) — решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутта с постоянным шагом;

Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D) — решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутта с автоматическим выбором шага;

В пакете Mathematica для решения задач дифференциального исчисления используются следующие функции:

D[f, x] – возвращает частную производную функции по переменной x

D[f,{x,n}] – возвращает частную производную n-го порядка по x

D[f,x1,x2,…] – возвращает обобщенную производную функции f

Dt[f] – возвращает полный дифференциал f

Derivative[n1, n2, …][f] – основная (общая) форма представления функции, полученной в результате дифференцирования f n1 раз по первому аргументу, n2 раз по второму и т.д.

Для интегрирования в системе Mathematica используются следующие функции:

Integrate[f, x] – возвращает первообразную подынтегральной функции f по переменной x

Integrate[f, {x, xmin, xmax}] – возвращает значение определенного интеграла с пределами xmin , xmax

Integrate[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax} ] – возвращает значение кратного интеграла с пределами от xmin до xmax по переменной x, от ymin до ymax по переменной y и т.д. (кратность не ограничена).

Для решения дифференциальных уравнений в символьном виде используются следующие функции:

DSolve[eqn,y[x],x] – решает дифференциальное уравнение относительно функций y(x) с независимой переменной x

DSolve[{eqn1, eqn2, …}, {y1[x1, …],…}, {x1, …}x] – решает систему дифференциальных уравнений





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-10; Просмотров: 2227; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2021 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.07 с.) Главная | Обратная связь