Метод половинного деления (метод дихотонии) в MathCAD.

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 45Следующая ⇒

Допустим дана некоторая функция и локализован корень в некоторой области При этом, очевидно, что функция на концах принимает противоположные значения (по знаку).

Делим отрезок пополам и находим середину отрезка Далее выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает противоположные по знаку значения, т. е.

и процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока где - заданная точность решения.

Преимущество данного метода: данный метод всегда сходится к решению, если правильно установлен содержащий один из корней.

Недостаток: численное решение по методу дихотомии требует достаточно большого времени, по сравнению с другими методами. Устойчивость численного решения означает, что алгоритм всегда приводит к решению. Следовательно, метод дихотомии является устойчивым.

Метод Ньютона в MathCAD.

Пусть требуется решить некоторое нелинейное уравнение т. е. найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Выберем начальное приближение и в точке проведем касательную. Касательная к графику функции задается уравнением: Положив в этом уравнении находим точку пересечения этой касательной с осью абсцисс, т. е. Далее, построив касательную в точке к графику функции можно аналогично получить точку и т. д. При этом каждое для - того шага будет вычисляться по формуле: успешность применения этого метода зависит от выбора начального приближения.

Недостатком метода Ньютона является то, что ни при любом начальном приближении последовательность будет сходится к решению. Решение в Mathcad находится с помощью функции root. Формат: - возвращает значение , принадлежащее отрезку при котором выражение или функция обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Для организации итерационных вычислений в MathCAD используется функция

Формат: - возвращает z, пока выражение a не становится отрицательным; а должно содержать дискретный аргумент.

Метод простых итераций в MathCAD.

Пусть задана некоторая нелинейная функция и требуется решить уравнение Заменяют уравнение эквивалентным ему уравнением Грубо говоря, выражают из функции Затем выбирают начальное приближение: и последующие значения вычисляют по формулам: Недостатком данного метода является то, что не для всех функций и начальных приближений существует последовательность которая сходится к решению т. е. успешность этого метода зависит от того, какие выбрана и

Графические возможности пакетов символьных вычислений: работа с двумерной и трехмерной графикой в MathCAD, Mathematica, Maple; построение графиков функций в различных системах координат.

MathCAD.

Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся caмим MathCAD на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика: Установить маркер в пустом месте рабочего документа. Выбрать команду Insert => Graph => Х-У Plot, или нажать комбинацию клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку (изображение графика) на панели Graph. Ввести в средней метке под осью X 1ю независимую переменную, через запятую - 2ю и так до 10, например x1, x2, .... 4. Ввести в средней метке слева от вертикальной оси Y 1ю зависимую переменную, через запятую - 2ю, например y1(х1), y2(х2),..., 5. Щелкнуть за пределами области графика, чтобы начать его построение. Если строятся графики нескольких функций в одном шаблоне, то функции следует разделять запятыми.

Форматирование двумерных графиков

Для вывода окна форматирования двумерного графика достаточно поместить указатель мыши в область графика и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. В окне документа появится окно форматирования. Оно имеет ряд вкладок: - Х-У Axes (Оси Х-У) - задание параметров форматирования осей; - Traces (Линии) - задание параметров форматирования линий графика;

- Labels (Метки) - задание параметров форматирования меток осей, - Default (по умолчанию) - назначение установленных параметров форматированияпараметрами по умолчанию

Форматирование осей графика

На вкладке Х-У Axes содержатся следующие основные параметры, относящиеся к осям X и У (Axis X и Axis У); LogScale - установление логарифмического масштаба; GridLines - установка линий масштабной сетки, Numbered -установка цифровых данных по осям; Autoscale - автоматическое масштабирование графика; ShowMarkers - установка делений по осям; AutoGrid - автоматическая установка масштабных линий; Number of Grids - установка заданного числа масштабных линий; Группа Axes Style позволяет задать стиль отображения координатных осей: Boxed -оси в виде прямоугольника; Crossed - оси в виде креста, None - отсутствие осей, Equal Scales - установка одинакового масштаба по осям графика.

Форматирование линий графиков

Эта вкладка служит для управления отображением линий, из которых строится график. На этой вкладке представлены следующие параметры: Legend Label - выбор типа линии в легенде; Symbol - выбор символа, который помещается на линию, для отметки базовых точек графика; Line– установка типа линии, Сolor - установка цвета линии и базовых точек, Type - установка типа графика, Weight - установка толщины линии.

Узловые точки (точки, для которых вычисляются координаты) графиков часто требуется выделить какой-нибудь фигурой. Список в столбце Линия позволяет выбрать типы линий: непрерывная, пунктирная, штрих - пунктирная.

Раскрывающийся список столбца Туре позволяет выбрать следующие типы линий графика: lines - построение линиями, points - построение точками, error - построение вертикальными черточками с оценкой интервала погрешностей, bar - построение в виде столбцов гистограммы, step - построение ступенчатой линией, draw - построение протяжкой от точки до точки.

Задание надписей на графиках

Эта вкладка позволяет вводить в график дополнительные надписи. Для установки надписей служат поля ввода: Title - установка титульной надписи к рисунку, Axes X - установка надписи по оси X, Axes Y - установка надписи по оси У.

В группе Заголовок имеются переключатели сверху и снизу для установки титульной надписи либо над графиком, либо под ним.

Параметры графиков по умолчанию

Вкладка " Default" позволяет назначить установленные на других вкладках параметры форматированияпараметрами по умолчанию.

В полярной системе координат каждая точка задается углом w и длиной его радиус-вектора R(W). График функции обычно строится при изменении угла W в определенных пределах, чаще всего от О до 2π. Выбор команды Polar Plot в подменю Graph меню Insert или нажатие комбинации клавиш Ctrl+7 выводит шаблон таких графиков. Этот шаблон имеет форму окружности и содержит места ввода данных. После вывода шаблона следует ввести W в место ввода снизу и функцию R (W) в место ввода слева, а также указать нижний предел изменения длины радиус-вектора R(W) - Rmin – в место ввода справа снизу и верхний предел –R max -в месте ввода справа сверху. Эти места ввода становятся видимыми при выделении графика.

Построение графиков поверхностей

Трехмерные, или ЗD-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y). Для построения трехмерного графика нужно:

1) определить функцию двух переменных х и у.2)Используя палитру графики, ввести шаблон трехмерного графика.3) на единственное место ввода под шаблоном ввести имя функции z. 4) вывести указатель мыши за пределы графика и щелкните левой кнопкой будет построен график в виде «проволочного каркаса.

Для изменения вида графиков трехмерных поверхностей используется их форматирование. При построении трехмерных графиков применяют функцию MathCAD CreateMesh - создает сетку на поверхности, определенной функцией F. x0, x1, y0, y1 - диапазон изменения переменных, xgrid, ygrid - размеры сетки переменных, fmap - функция отображения. Все параметры, за исключением F – факультативные. Функция Вид трехмерной фигуры зависит от того, под какими yглами относительно осей X, Y и Z ее рассматривают.

Для построения пересекающихся фигур на одном графике надо раздельно задать матрицы соответствующих поверхностей и после вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы под ним с использованием в качестве разделителя запятой.

Форматирование трехмерных графиков

Окно форматирования трехмерных графиков вызывается аналогично окну форматирования двумерных графиков и имеет ряд вкладок: General - установка общих параметров форматирования, Axes - установка параметров форматирования координатных осей, Appearance - установка вида графика, Lighting - задание условий освещения и выбор схемы освещения.

Mathematica.

Для построения двухмерных графиков ф-ций вида f(x) используется встроенная в ядро ф-ция Plot: Plot [f, {x, xmin, xmax}] - возвращает объект - график ф-ции f аргумента х в интервале от xmin до xmax; Plot [{fl, f2,.. }, {х, xmin, xmax}] - возвращает объект в виде графиков ряда ф-ций fi.

Важным средством настройки графиков являются графические директивы. Синтаксис их подобен синтаксису функций. Однако опции не возвращают объектов, а лишь влияют на их характеристики. Используются следующие директивы двухмерной графики: AbsoluteDashing [{dl, d2,...}] - задает построение последующих линией пунктиром со смежными (последовательными) сегментами, имеющими абсолютные длины dl, d2,... (повторяемые циклически). Значения длины di задаются в пикселях; AbsolutePointSize [d] - задает построение последующих точек графика в виде кружков с диаметром d (в пикселях); AbsoluteThickness[d] - задает абсолютное значение толщины для последующих рисуемых линий (в пикселях), Dashing[{rl, г2,...}] - задает построение последующих линий пунктиром с последовательными сегментами длиной rl, г2, … повторяемыми циклически, причем ri задается как дробная часть полной ширины графика.

PointSize[d] - задает вывод последующих точек графика в виде кружков с относительным диаметром d, заданным как дробная часть от общей ширины графика, Thickness[r] - устанавливает толщину г для всех последующих линий, заданную как дробная часть от полной ширины графика.

Применение графических директив совместно с опциями позволяет создавать графики самого различного вида.

При построении графиков часто требуется изменение их вида и тех или иных параметров и опций. В этом случае удобно использовать следующую функцию- директиву:

Show[plot] - построение графика,

Для построения примитивной двухмерной графики используется функция

Graphics[primitives, options] представляет двухмерное графическое изображение.

Возможно построение графиков в полярной системе координат двумя способами. Первый способ основан на использовании обычной Декартовой системы координат. Координаты каждой точки при этом задаются в параметрическом виде x=f_x(t) и y=f_y(t), где независимая переменная t меняется от минимального значения tmin до максимального tmax с шагом dt. Особенно удобно применение таких функций для построения замкнутых линий, таких как окружности, эллипсы, циклоиды и др.

Для построения параметрически заданных функции используются следующие графические средства: ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] - строит параметрический график с координатами fx и fу (соответствующими х и у ) получаемыми как функции от t;

Принципы построения поверхностей и ЗD-фигур/

Функция двух переменных z = f(x, y) в пространстве o6pазуетнекоторую поверхность или трехмерную фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с тремя осями координат: х, у и z. Поскольку экран дисплея ПК плоский, то на самом деле объемность фигур лишь имитируется - используется хорошо известный способ наглядного представления 3D-фигур в виде аксонометрического графика.

Вместо построения всех точек фигуры обычно строится ее каркасная модель, содержащая линии разреза фигуры по взаимно перпендикулярным плоскостям. В результате фигура представляется в виде совокупности из множества криволинейных четырехугольников. Для придания фигуре большей естественности используются алгоритм удаления невидимых линий каркаса и функциональная закраска четырехугольников по правилу бокового освещения фигуры.

Для построения графиков поверхностей используется основная графическая функция

Plot3D[f, {х, xmin, xmax), {y, yimin, ymax}] - строит трехмерный график функции f переменных х и у.

Помимо опций для трехмерной графики используется ряд графических директив и функций.

Часто поверхность задается массивом своих высот (аппликат ). Для построения графика в этом случае используется графическая функция ListPlot3D.

Особый шик построениям ЗD-фигур и поверхностей придает функция ParametricPlot3D, в которой предусмотрено параметрическое задание всех трех функций, описывающих координаты каждой точки.

Эта функция имеет также множество опций. Параметрическое задание функций позволяет легко строить сложные пространственные фигуры, визуально весьма напоминающие реальные объекты.

Для построения графиков функций в полярной системе координат заданы следующие функции:

PolarPlot[f, {t, tmin, tmax}] - строит график функции в полярной системе координат как положение конца радиус-вектора f при изменении угла от tmin до tmax;

Для построение графиков неявных функций –используется пакет ImplicitPlot.

Построение ЗD -параметрических графиков- ParametricPlot3D

Для построения трехмерных поверхностей в сферической и цилиндрической системах координат служат функции соответственно:

SphericalPlot3D[r, {t, tmin, tmax}_,{p, pmin, pmax}] и CylindricallPlot3D [z, {t, tmin, tmax}, {p, pmin, pmax}].

Maple.

Графика Maple V реализует все варианты математических графиков — от построения графиков простых функций в декартовой и в полярной системах координат до создания реалистических образов сложных пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской. Возможны наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразии уравнений, включая системы дифференциальный уравнений.

В само ядро Maple V встроено ограниченное число функций графики. Это прежде всего функция для построения двумерных графиков (2D-типа) – plot и функция для построения трехмерных графиков (ЗD-типа) — plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения графиков специального типа (например, в виде векторных полем градиентов, решения дифференциальных уравнений построения фазовых портретов и т.д.) в пакеты расширения системы Maple V включено большое число различных графических функций. Для их вызова необходимы соответствующие указания.

Для построения двумерных графиков служит функция plot. I Она задается в виде: plot(f, h, v) или plot(f, h, v, о), где f функция (или функции), чей (чьи) график(и) строятся, h — переменная с указанием области ee изменения по горизонтали, v - заданная опционально переменная с указанием области изменения по вертикали, о - опция или набор опций, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д.)

55. Назначение издательской системы TeX (LaTeX). Основные понятия пакета: исходный файл; спецсимволы; команды и их задание в тексте; структура исходного текста. Принципы работы с математическим текстом: форматирование текста; правила набора формул, нумерация и переносы в формулах; таблицы спецзнаков; набор матриц.

ТEX - это комп. программа, созданная Дональдом Кнутом. LATEX -- макропакет, позволяющий авторам верстать и печатать их работы с высоким типографским качеством, при помощи заранее определенных, профессиональных макетов. LATEX был написан Leslie Lamport. В качестве механизма для верстки он использует TEX. Позже LATEX был обновлен и эту новую версию называют LATEX2e.

Исходными данными (файлом) для TEX являются обычный текстовый файл в ASCII. Его можно создать в любом текстовом редакторе. Он содержит текст документа вместе с командами, указывающими TEX, как верстать текст.

< < Пустые> > символы, такие, как пробел или табуляция, трактуются TEX одинаково, как < < пробел> >. Пустая строка между двух строк текста определяет конец абзаца. Следующие символы (спецсимволы) являются зарезервированными символами, которые либо имеют в TEX специальное значение, либо имеются не во всех шрифтах. $ & % # _ { } ~ ^ \. Например, знак $ используют для обозначения математической формулы, знак % для комментария внутри текста документа, фигурные скобки для записи имен окружений и т.д. Эти символы можно использовать в документах, добавляя к ним префикс < < \> >: Знак < < \> > нельзя вводить, добавляя перед ним еще один, так как эта команда (\\) используется для разрыва строки.

Каждый входной файл должен начитаться с команды \documentstyle{...} Она указывает, документ какого типа вы собираетесь писать. После этого, вы можете включать команды, влияющие на стиль документа в целом, или загружать пакеты, добавляющие новые возможности в систему TEX. Для загрузки такого пакета используется команда

\input Имя_файла

Когда вся настройка закончена, вы начинаете тело текста командой

\begin{document}

В конце документа вы добавляете команду \end{document}

Минимальный файл TEX

\documentstyle[12pt, russian, 0011]{book}%report}%{article}

\input 000pream.tex %Преамбула

\begin{document}

\input 142-143.tex % Подключение файлов, содержащих текст документа

Я изучаю TeX % или непосредственное написание текста документа

\end{document}

Стили документов documentstyle[опции]{класс}

Здесь стиль определяет тип создаваемого документа. Таблица перечисляет классы документов.

article для статей в научных журналах, , приглашений..., report для более длинных отчетов, содержащих несколько глав, book для настоящих книг

Специальные буквы и символы

Для набора кавычек в TEX используйте два знака ` в качестве открывающей кавычки и два знака ' в качестве закрывающей. TEX знает 4 вида тире. 3 из них вы можете получить различным числом последовательных знаков -. Четвертое - математический знак минус. Эти тире называются так: - дефис, - короткое тире, -- длинное тире и $-$ знак минуса. Для многоточия есть специальная команда, называющаяся \ldots или \dots. Чтобы подчеркнуть текст, используется команда \underline. Чтобы взять часть текста в рамку, используется команда \fbox

Для получения ровного правого края вывода TEX вставляет различные интервалы между словами. В конце предложения он вставляет слегка больший интервал, делая текст более читабельным. TEX предполагает, что предложения заканчиваются точками, вопросительными или восклицательными знаками. Если точка следует за буквой в верхнем регистре, она не считается концом предложения, так как точки после букв верхнего регистра обычно используются для сокращений.

Любое исключение из этих предположений должно быть явно оговорено автором. Знак < < \> > перед пробелом дает в результате пробел, который не будет увеличен. Знак < < ~> > дает пробел, который не может увеличиться и который, кроме того, запрещает разрыв строки. Команда \@ перед точкой указывает, что эта точка заканчивает предложение, несмотря на то, что стоит за буквой верхнего регистра.

Для выделения шрифтом определенной части текста используется команда \em. Если текущий шрифт прямой, то эта команда переключает шрифт на курсивный, а если имеет наклон, то на обычную гарнитуру roman.

Команда - Название гарнитуры, \bf - Полужирный шрифт, \it – Курсив, \sl - Наклонный шрифт, \rm - Обычный шрифт

Для верстки специальных видов текста LATEX определяет множество окружений для разных типов форматирования:

\begin{название} текст \end{название}

где название определяет окружение. Окружения можно вызывать внутри окружений, соблюдая порядок вызова и возврата: \begin{aaa}...\begin{bbb}...\end{bbb}...\end{aaa}

Окружение itemize подходит для простых списков, окружение enumerate -- для нумерованных списков, а окружение description -- для описаний.

Окружения flushleft и flushright форматируют абзацы, выровненные влево или вправо. Окружение center дает центрированный текст. Если вы не используете \\ для указания разрывов строк, TEX определит их автоматически.

Для набора математических формул используются в качестве ограничителей знаки $, причем 1) если формула идет в тексте, то она ограничивается с обеих сторон одним знаком $, если же формула располагается на отдельной строке по центру (выключная), то она ограничивается двумя знаками доллара с каждой стороны.

Для того чтобы набрать формулу с номером, нужно воспользоваться командой:

\begin{equation}

\label{Имя_формулы)

Формула

\end{equation}

В этом случае формулы будут нумероваться автоматически самим Tex.

Двухъярусная дробь верстается командой \frac{...}{...}. Оператор интеграла печатает команда \int, а команда \oint -контурный интеграл. Верхние и нижние пределы указываются при помощи знаков < < ^> > и < < _> >, так же, как верхние и нижние индексы. В некоторых случаях необходимо указать корректный размер математического ограничителя вручную, для этого есть команды \big, \Big, \bigg и \Bigg, служащие префиксами к большинству команд ограничителей. Все основные математические символы имеют определенные правила набора для их корректного изображения при трансляции. Для этого используются таблицы спецзнаков.

«Теоретические основы информатики»

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒