Справочные данные для выполнения РГР - 1

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

В разветвленной электрической цепи, имеющей один источник ЭДС (напряжения) и смешанное соединение элементов, для расчета токов в ветвях обычно используют метод преобразования сопротивлений, заключающийся в том, что данная схема цепи последовательно заменятся эквивалентной с одним общим сопротивлением, затем определяется ток источника (входной) и распределяется по ветвям при последовательном “развертывании” схемы.

Существуют следующие характерные схемы соединения пассивных элементов: последовательное, параллельное, смешанное.

Последовательное (рис.1, а) - самое простое, при таком соединении через все элементы протекает один и тот же ток I.


а	б

Рис. 1

На основании 2-го закона Кирхгофа напряжение на зажимах цепи из n последовательно соединенных элементов будет равно сумме падений напряжений на n элементах, т. е.:

U = U₁ + U₂ +…+ U_n

или

U = R₁I + R₂I +…+ R_nI = (R₁ + R₂ +…+ R_n)I = R_эквI,

где R_экв равно сумме всех сопротивлений схемы (рис. 1, б).

Ток определяется по закону Ома:

I = U/R_экв.

Так как при последовательном соединении ток во всех элементах одинаков, то отношение падений напряжений на элементах равно отношению сопротивлений этих элементов: U_к/U_n = R_к/R_n.

Параллельное соединение (рис. 2, а) такое, при котором ко всем элементам цепи приложено одно и то же напряжение и каждый параллельно включенный элемент образует отдельную ветвь.


а б

Рис. 2

Для такой цепи на основании 1-го закона Кирхгофа можно записать:

I = I₁ + I₂ +…+ I_n.

Так как ток в каждой ветви равен: I_к = U/R_к = G_кU (закон Ома), где
G_к = 1/R_к - проводимость ветви, то

I = G₁U + G₂U +…G_nU = (G₁ + G₂ +…+ G_n)U = G_эквU,

где G_экв равна сумме проводимостей элементов.

Общая проводимость всегда больше проводимости любой части параллельных ветвей, а эквивалентное сопротивление для этого соединения всегда меньше меньшего и для двух параллельно соединенных элементов R₁ и R₂ вычисляется по формуле:

R₁₂ = 1/G₁₂ = 1/(G₁ + G₂) = 1/(1/R₁ + 1/R₂) = R₁R₂/(R₁+R₂).

Поскольку при параллельном соединении ко всем элементам приложено одно и то же напряжение, а ток в каждой ветви пропорционален ее проводимости, то отношение токов в параллельных ветвях равно отношению их проводимостей или обратно пропорционально отношению их сопротивлений: I_к/I_n = G_к/G_n = R_n/R_к.

Смешанное соединение элементов представляет собой различное сочетание последовательного и параллельного соединений. Такая цепь может иметь различное число узлов и ветвей, например, схема на рис.3, а. Для расчета такой цепи необходимо последовательно определить эквивалентные сопротивления для тех частей схемы, которые представляют собой только последовательное или только параллельное соединение. Эквивалентное соединение параллельно соединенных элементов R₃ и R₄ равно: R₃₄ = R₃R₄/(R₃ + R₄).


а	б	в

Рис.3

Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов R₁ и R₂: R₁₂ = R₁ + R₂.

Для последовательно соединенных элементов R₁₂ и R₃₄ (рис.3, б) эквивалентное сопротивление: R_экв = R₁₂ + R₃₄ (рис.3, в);

Ток I находим по закону Ома: I = U/R_экв (рис.3, а); это ток источника (входной) и ток в элементах R₁ и R₂ исходной цепи. Для расчета токов I₃ и I₄ определяем напряжение на участке цепи с сопротивлением R₃₄: U₃₄ = R₃₄I.

Тогда токи I₃ и I₄ можно найти по закону Ома:

I₃ = U₃₄/R₃; I₄ = U₃₄/R₄.

Эти токи можно также найти, используя соотношение:

U₃₄ = IR₃₄ = I₃R₃ = I₄R₄,

из которого с учетом значения R₃₄ получаем:

I₃ = IR₄/(R₃ + R₄); I₄ = IR₃/(R₃ + R₄).

Подобным образом можно рассчитать различные схемы электрических цепей со смешанным соединением элементов.

Иногда встречаются схемы соединения элементов, в которых невозможно применение метода свертывания, так как их нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному соединениям. В таких случаях применяют специальные методы преобразований.

В некоторых схемах сложных разветвленных цепей часть схемы, образованная пассивными элементами, может напоминать по внешнему виду трехлучевую звезду (рис.4, а) или треугольник (рис.4, б). Эквивалентная (равносильная) замена пассивных элементов, соединенных треугольником, касающаяся только части схемы, может привести к упрощению схемы и облегчить ее расчет. В других случаях к такому упрощению может привести обратная замена.

Для перехода от соединения треугольником к соединению звездой используются формулы, позволяющие находить сопротивление лучей эквивалентной звезды:

R₁ = R₁₂R₁₃/(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁);

R₂ = R₂₃R₁₂/(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁);

R₃ = R₃₁R₂₃/(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁).

а б

Рис.4

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сторон треугольника, примыкающих к данному лучу, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.

Переход от соединения звездой к треугольнику осуществляется по формулам:

R₁₂ = R₁ + R₂ + R₁R₂/R₃;

R₂₃ = R₂ + R₃ + R₂R₃/R₁;

R₃₁ = R₃ + R₁ + R₃R₁/R₂.

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений лучей звезды, соединяемых данной стороной треугольника, плюс произведение сопротивлений этих лучей, деленное на сопротивление третьего луча.

Если все три сопротивления ветвей звезды одинаковы, то и сопротивления ветвей эквивалентного треугольника равны друг другу, причем соотношения принимают вид:

R_треуг = 3R_звез; R_звез = R_треуг/3.

Задание на выполнение РГР-1

Для заданных схем электрической цепи, изображенных на рис. 5, с заданными в табл. 1 напряжениями на зажимах цепи и сопротивлениями требуется:

1. Рассчитать все токи и напряжения на участках электрической цепи.

2. Составить баланс генерируемой и потребляемой мощностей.

Номер схемы выбирается по последней цифре студенческого билета, номер варианта числовых значений выбирается в соответствии с порядковым номером фамилии студента в журнале группы.

Рис. 5. По последней цифре студенческого билета

Таблица 1

Вари-	U,	Сопротивления, Ом
ант	В	R₁	R₂	R₃	R₄	R₅	R₆

1.3. Методические указания к выполнению РГР-1 и пример расчета электрической цепи постоянного тока с одним источником напряжения

При выполнении РГР – 1 необходимо знать и уметь применять в расчетах основные законы электрических цепей (закон Ома и законы Г. Кирхгофа), методы эквивалентного преобразования схем электрических цепей.

Методику расчета электрических цепей методом эквивалентного преобразования рассмотрим на примере цепи, приведенной на рис.6, а.


а	б

в	г

д	е

Рис. 6

Решение

Непосредственно определить токи в ветвях схемы невозможно, так как неизвестно распределение напряжений на отдельных ее участках. Обозначим токи в ветвях по номерам резисторов. Ток источника, общий ток цепи обозначим через I (без индекса). Сначала путем постепенного упрощения найдем эквивалентное сопротивление схемы (R_экв), что позволит определить общий ток I в неразветвленной части цепи. Этапы последовательного «свертывания» показаны на рис.6, а – 6, е.

Параллельное соединение сопротивлений R₅ и R₆ заменяется одним эквивалентным сопротивлением на R₅₆ (рис.6, б). Эквивалентное сопротивление R₅₆ определяем по формуле:

R₅₆ = R₅R₆/(R₅ + R₆).

На полученной схеме (рис. 6, б) сопротивления R₄ и R₅₆ соединены последовательно. Это позволяет определить эквивалентное сопротивление R₄₅₆ = R₄ + R₅₆.

Получаем еще более упрощенную схему, (рис. 6, в). На этой схеме сопротивления R₃ и R₄₅₆ соединены параллельно. Определяем эквивалентное сопротивление R₃₄₅₆ (рис.6, г) по соотношению

1/R₃₄₅₆ = 1/R₃ + 1/R₄₅₆,

из которого R₃₄₅₆ = R₃ R₄₅₆/ R₃ + R₄₅₆. Сопротивления R₂ и R₃₄₅₆ соединены последовательно (рис.6, г), что позволяет определить эквивалентное сопротивление R₂₃₄₅₆ = R₂ + R₃₄₅₆. Этой стадии упрощения соответствует схема на рис.6.д, в которой сопротивления R₁ и R₂₃₄₅₆ соединены параллельно. Определяем общее эквивалентное сопротивление всей цепи

R_экв = R₁ R₂₃₄₅₆/ R₁ + R₂₃₄₅₆.

Теперь ток в неразветвленной части цепи, т.е. ток источника, определяем по закону Ома: I = U/R_экв.

Для определения токов в ветвях будем в обратном порядке последовательно «развертывать» схему (рис. 6, а-6, е).

Для определения токов I₁ и I₂ перейдем к схеме на рис.6, д и применим закон Ома:

I₁= U/R₁; I₂= U/ R₂₃₄₅₆.

Для определения токов I₃ и I₄ перейдем к схеме на рис.6, в. Сопротивления R₃ и R₄₅₆ соединены параллельно и находятся под действием одного напряжения U_ав. Это напряжение можно определить по формуле:

U_ав.= I₂ × R₃₄₅₆ или U_ав= U - I₂ × R_2.

Тогда I₃ = U_ав/R₃; I₄ = U_ав/R₄₅₆.

Проверку правильности расчетов можно осуществлять по ходу решения, применяя первый закон Кирхгофа: I₃ + I₄ = I₂.

Для определения токов I₅ и I₆ переходим к исходной схеме (рис.6, а). Сопротивления R₅ и R₆ соединены параллельно и находятся под одним напряжением U_св = U₅₆. Определяем это напряжение:

U_св = U₅₆= I₄ × R₅₆ или U_св.= U_ав – I₄ × R_4.

Теперь можно определить токи I₅ и I₆:

I₅ = U_св/R₅; I₆ = U_св/R₆.

Правильность расчета подтвердит первый закон Кирхгофа: I₅ + I₆ = I₄.

Таким образом, определены токи во всех ветвях цепи и падение напряжения на сопротивлениях.

Расчет баланса мощности

Баланс мощности отражает закон сохранения энергии и определяет равенство мощности, выработанной источником, и мощности, потребляемой приемниками: SР_ис = SР_пр.

Рассматриваемая цепь содержит один источник, мощность которого Р_ис = U × I, где U – напряжение на зажимах источника, I – ток источника.

Мощность приемника определяется по формуле Р_пр_i = I_i² × R_i, где I_i – ток, протекающий через сопротивление R_i.

Тогда баланс мощностей для рассматриваемой цепи:

U × I = I₂² R₂ + I₃² R₃+ I₄² R₄ + I₅² R₅+ I₆² R₆.

Мощность измеряется в ваттах [Вт].

Правильными считаются расчеты, результаты которых дают погрешность баланса мощностей менее 2%. Эта погрешность определяется по формуле:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒