Справочные данные для выполнения РГР - 2

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

Электрические цепи, содержащие несколько источников ЭДС и представляющие собой смешанное соединение пассивных элементов называют сложными разветвленными. Задачей расчета электрической цепи является определение токов в ветвях, электрических потенциалов узлов и падений напряжения на различных элементах или участках электрической цепи. При этом заданными, как правило, являются ЭДС всех источников, конфигурация цепи, параметры всех ветвей (сопротивления или проводимости).

Источник ЭДС (напряжения) характеризуется значением разности потенциалов u(t) на зажимах. При равенстве нулю внутреннего сопротивления источника, напряжение на его зажимах остается неизменным и равным ЭДС e(t) при любом потребляемом токе. Такой источник называют идеальным источником ЭДС. К источникам напряжения можно отнести машинные генераторы и аккумуляторы, обладающие сравнительно малым внутренним сопротивлением.

Источник тока характеризуется величиной тока i(t) на зажимах. Если при любой нагрузке соответствующий ток остается неизменным, такой источник тока называют идеальным. Внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно большое. Источники тока находят применение в схемах замещения электронных ламп и полупроводниковых приборов.

В линейных электрических цепях в установившихся режимах все токи и напряжения определяются формой напряжения или тока источников. При синусоидальном напряжении источника, токи в цепи будут также синусоидальными.

Состояние любой электрической цепи описывается уравнениями, составленными с применением первого и второго законов Кирхгофа: ; , решив которые, определяют токи в ветвях. Законы Кирхгофа являются основой математического описания электрических цепей. Электрическая цепь постоянного тока является частным случаем цепи синусоидального тока. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа для цепей синусоидального тока, записывают в алгебраическом виде с использованием комплексных чисел, а для цепей постоянного тока - в алгебраическом виде с использованием вещественных чисел. Синусоидальный ток: комплексные ЭДС - , токи - , сопротивления ветвей - Z.

Постоянный ток: ЭДС - Е, токи - I, сопротивления ветвей - R.

2.1.1. Метод расчета сложных электрических цепей

с непосредственным применением законов Кирхгофа

(классический)

В общем случае электрическая цепь имеет b количество ветвей и количество узлов у. Так как неизвестными являются токи в ветвях, то число неизвестных равно b, для нахождения которых необходимо иметь систему из b уравнений.

По первому закону Кирхгофа можно записать (у-1) уравнений для (у-1) независимых узлов. Для независимого уравнения характерно то, что в него входит хотя бы один ток, не вошедший в другие уравнения.

По второму закону Кирхгофа можно записать столько уравнений, сколько можно выделить замкнутых контуров в схеме. Но не все замкнутые контуры независимы. Независимым является такой контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в другие контуры. Число независимых контуров и независимых уравнений n определяется конфигурацией схемы и вычисляется по формуле:

n = b - (у - 1) = b - у + 1.

Итак, по законам Кирхгофа можно записать: (у-1)+(b-у+1)=b независимых уравнений. Решив такую систему уравнений, можно найти токи во всех ветвях.

Прежде чем приступить к написанию уравнений по законам Кирхгофа, следует задать направления токов в ветвях цепи и направления обхода контуров.

Если ток какой - либо ветви в результате решения системы уравнений для цепи постоянного тока получается со знаком минус, то это означает, что действительное направление тока в ветви противоположно условно выбранному (заданному).

Например, для схемы на рис. 7 число узлов у=3. Для того, чтобы получить линейнонезависимые уравнения по 1-му закону Кирхгофа составляем уравнения, число которых равно числу узлов минус единица, то есть: у-1=2. А в качестве независимых контуров рассматриваем контуры, охватывающие все ветви схемы. В данной схеме ветвей b =5, узлов у=3, по 2-му закону Кирхгофа составляем n уравнений, где n = b-у+1 = 3 – число независимых контуров схемы.

Рис. 7

Таким образом, число неизвестных токов в ветвях b = 5. По 1-му и
2-му законам Кирхгофа для этой схемы можно написать систему из пяти линейных уравнений (для узлов а и b, и для контуров 1, 2, 3):

В результате решения системы уравнений находят все неизвестные токи в ветвях. Решение проводят любым доступным способом (по методу Крамера, Гауса, “подстановкой”), при необходимости используют ЭВМ. Расчет можно считать правильным, если вычисленные значения токов удовлетворяют системе уравнений, составленной по 1-му и 2-му законам Кирхгофа. При этом для проверок берут те узлы и контуры, уравнения которых не фигурировали в расчетах. Используя систему уравнений, записанных по законам Кирхгофа, можно, в принципе, рассчитать любую линейную цепь. Этот метод является универсальным, классическим, но не всегда самым простым и удобным. Сложная электрическая цепь описывается довольно громоздкой системой уравнений. Для сокращения их числа и упрощения расчета применяют другие методы. Рассмотрим в данной работе метод контурных токов и узловых потенциалов на примере цепей при постоянных токах и напряжениях. В каждом из методов на основном более трудоемком этапе используется только часть уравнений: в методе контурных токов - только уравнения по 2-му закону Кирхгофа, а в методе узловых потенциалов - только по первому. Форма записи контурных и узловых уравнений аналогична. По этим методам сначала находятся промежуточные величины - это контурные токи и узловые потенциалы (основной расчет), а затем достаточно просто находятся токи ветвей. Схема в обоих методах РГР-2 одна и та же, поэтому токи ветвей должны совпадать (допускается отклонение не более 3 %).

2.1.2. Метод контурных токов

В основу метода положено использование понятия контурного тока. Под контурным током понимают условный (предполагаемый) ток, замыкающийся только по своему контуру (рассматривают только независимые контуры). Это позволяет уменьшить число неизвестных токов до числа независимых контуров, то есть на (y-1), где у - число узлов рассматриваемой схемы. В ветвях, входящих только в один контур, ток равен контурному, а в ветвях, принадлежащих двум контурам, ток равен алгебраической сумме контурных токов двух смежных контуров. Для независимых контуров записывают систему уравнений по 2-му закону Кирхгофа, в результате решения которой находят эти токи.

2.1.3. Метод узловых потенциалов (напряжений)

Метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до (у-1), где “у” - число узлов схемы замещения электрической цепи. Метод основан на применении 1-го закона Кирхгофа и заключается в следующем:

а) один из узлов схемы принимаем базисным с нулевым потенциалом; такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разности потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов, то есть узел, где j = 0, задаемся произвольно;

б) после чего для остальных (у-1) узлов составляем уравнения по 1-му закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;

в) решением составленной системы уравнений определяем потенциалы (у-1) узлов относительно базисного, потенциал которого принят за “0”, а затем токи ветвей определяем по закону Ома.

2.1.4. Построение потенциальной диаграммы

В целях наглядной иллюстрации полученных результатов и проверки правильности решения для цепей постоянного тока строятся потенциальные диаграммы. Потенциальная диаграмма - это график распределения потенциала вдоль элементов цепи, образующих замкнутый контур. По оси абсцисс откладываются последовательные значения сопротивлений отдельных элементов контура, по оси ординат - потенциалы точек соединения элементов в схеме. Для линейных цепей изменение потенциала внутри элемента происходит по прямой линии, наклон которой зависит от значения проходящего тока. В местах включения источников ЭДС происходит скачкообразное изменение потенциала на значение этой ЭДС. Если цепь не имеет заземления, то потенциал любой из ее точек может быть принят равным нулю, потенциалы всех точек определяются относительно точки с нулевым потенциалом.

Задание на выполнение РГР-2

Для заданных схем сложной электрической цепи, изображенных на рис. 8, с заданными по табл. 2. ЭДС и сопротивлениями требуется:

1. Составить уравнения для определения токов путем непосредственного применения законов Кирхгофа. Решать систему не следует.

2. Определить токи в ветвях методом контурных токов и методом узловых потенциалов (можно использовать ЭВМ в одном из методов).

3. Составить баланс мощности.

4. Построить потенциальную диаграмму для контура, включающего два источника ЭДС.

Номер схемы выбирается по последней цифре студенческого билета, номер варианта числовых значений по предпоследней цифре студенческого билета.

Рис.8

Таблица 2

№ вар.	E_j, В	E_i, В	Е_к_, В	r_oj, Ом	r_oi, Ом	r_ok, Ом	R₁, Ом	R₂, Ом	R₃, Ом	R₄, Ом	R₅, Ом	R₆, Ом
				0, 2	0, 1	0, 2				2, 5	1, 5
				0, 3	0, 5	0, 2
				0, 1	0, 2	0, 1
				0, 2	0, 1	0, 3
				0, 3	0, 4	0, 3
				0, 4	0, 2	0, 4
				0, 2	0, 5	0, 2
				0, 5	0, 2	0, 3
				0, 6	0, 1	0, 3
				0, 5	0, 3	0, 2
				0, 7	0, 2	0, 1
				0, 4	0, 3	0, 3
				0, 1	0, 1	0, 8
				0, 5	0, 1	0, 4
				0, 2	0, 3	0, 5
				0, 3	0, 3	0, 4
				0, 7	0, 1	0, 2
				0, 5	0, 5	0, 5
				0, 8	0, 7	0, 5
				0, 6	0, 6	0, 8
				0, 4	0, 6
				0, 7	0, 4	0, 9
				0, 9	0, 7	0, 4
				0, 7	0, 5	0, 8
				0, 2	0, 1	0, 7
				0, 6	0, 7	0, 5					5, 5
				0, 3	0, 9	0, 8						6, 5
				0, 8	0, 2	0, 7
				0, 6	0, 4	0, 3
				0, 7	0, 5	0, 9

В таблице 2 «j», «i», «k» - номер ветви, содержащей ЭДС, причем j< i< k, ЭДС обозначается по номерам резисторов.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒