Справочные данные и методические указания для выполнения РГР – 4а,б;5.

 

4.1.1. Операции с комплексными числами

 

В основу комплексного метода расчета положено представление синусоидальных токов и напряжений, изображающими их комплексными величинами (символами). Комплексный метод предусматривает расчет электрических цепей, где все напряжения и токи изменяются по синусоидальному закону: u = U_msin(wt + j_u); i = I_msin(wt + j_i) (рис.18).

Операции с ними значительно облегчаются, если применять вращающиеся векторы на комплексной плоскости, изображающие синусоидальные функции времени. Их строят в момент времени t = 0, когда аргументом синуса является начальная фаза j. Длина вектора либо , (комплексная амплитуда , ), либо , (комплексное действующее значение).

По правилам тригонометрии эти значения можно изобразить на плоскости в виде радиус-векторов:

 

 

Рис.18

а - координата на вещественной оси, b – на мнимой. = а + jb, где - мнимая единица.

Координаты точки А могут быть выражены через длину вектора ОА и угол j: a = Acosj; b = Asinj; то есть = A (cosj + jsinj), - модуль комплексного числа, равный длине вектора А,
j = arctg(b/a) – угол поворота вектора – аргумент комплексного числа. По формуле Эйлера: cosj + jsinj = e^jj, тогда = А e^jj, где e^jj - поворотный множитель, указывающий на какой угол по отношению к вещественной оси должен быть повернут вектор А.

Вектор тока на комплексной плоскости может быть также аналитически описан либо = I_вещ + jI_мним – алгебраическая форма записи, либо = Ie^jj

(I – модуль вектора) – показательная форма записи. Алгебраическая форма записи применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, показательная при умножении, делении, возведении в степень. Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формулам прямоугольного треугольника:

= a + jb, a = Icosj, b = Isinj, = Ie^jj;

; j = arctg(b/a), i = I_msin(wt + j_i), .

Сущность комплексного метода расчета состоит в том, что для режима синусоидального тока можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений, являющихся, по сути, интегро-дифференциальными, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Для данной электрической цепи (рис.19) уравнение для мгновенных значений по 2-му закону Кирхгофа имеет вид: u_R + u_L + u_C = e или iR + L(di/dt) + (1/С) = e.

 

Рис.19

 

Переход основан на том, что мгновенные значения тока i заменяют комплексной амплитудой (доумножив правую и левую часть уравнения на мнимую единицу), мгновенное значение напряжения на активном элементе R равно R_i = R , на индуктивном U_L = L(di/dt) = jwL , на емкостном
U_C = 1/C = -j /wС.

Уравнение в комплексной форме имеет вид:

R + jwL - j /wC = ; , ,

то есть, становится возможным найти комплексную амплитуду через комплексную амплитуду и сопротивление цепи. Множитель
R + jwL - j/wC = Z имеет размерность сопротивления. Примем
wL = Х_L – реактивное сопротивление катушки, 1/wC = Х_C – то же конденсатора; X = X_L – X_C – реактивное сопротивление участка цепи;

j = arctg(X/R) – аргумент.

Запишем: R + j(X_L – X_C) = R + j = Ze^jj;

;

Z = X/sinj = R/cosj; Z = Ze^jj

– по закону Ома для цепи синусоидального тока.

Мощность такой цепи в комплексной форме равна произведению комплекса напряжения на сопряженный комплексный ток:

,

где - сопряженный комплекс тока; если число равно (a + jb), то число, сопряженное с ним – (a – jb), в показательной форме:

= Ie^jj, ;

,

где j = j_u - j_i – сдвиг фаз между и в цепи.

Согласно формуле Эйлера: S = UIcosj + j UIsinj = P ± jQ;

P = I²R – энергия, выделяющаяся в единицу времени в виде тепла на сопротивлении R;

Q = I²X – мощность, характеризует ту энергию, которой обмениваются источник ЭДС и приемник энергии, она может быть как положительной, так и отрицательной: S = P + jQ – если в цепи преобладает индуктивное сопротивление j> 0 и S = P - jQ – если в цепи преобладает емкостное сопротивление j < 0;

Комплексный метод расчета, базирующийся на теории комплексных чисел, довольно прост и позволяет добиваться высокой точности. Все графические методы расчета электрических цепей синусоидального тока, в том числе и метод векторных диаграмм, не могут обеспечить высокой точности или очень сложны и трудоемки. Даже при незначительном изменении одного из параметров сложной электрической цепи для определения токов в ветвях и падения напряжения на участках цепи необходимо строить новую векторную диаграмму. Из векторной диаграммы нельзя делать заключений общего характера.

 

Задание на выполнение РГР-4а

 

Расчет НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

 

Необходимо:

1. Определить действующее значение тока комплексным методом и закон его изменения.

2. Определить активную, реактивную и полную мощности, потребляемые из сети.

3. Построить векторную диаграмму.

Напряжение на зажимах цепи, изображенной на рис.20, изменяется по закону u = U_msin(wt + j_u), где w = 2pf при f = 50 Гц.

Амплитудное значение U_m и начальная фаза j_u напряжения, значения активных R, индуктивных X_L и емкостных X_C сопротивлений заданы в табл.4, а.

Номер схемы выбирается по последней цифре студенческого билета.

Номер варианта выбирается в соответствии с порядковым номером фамилии студента в журнале группы.

 

 

Рис. 20

Таблица 4а

 

Вари-	Um	ju	R1	XL1	XC1	R2	XL2	XC2
ант	В	рад	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
		-15
		-30
		-15
		-45
		-75
		-15
		-30
		-75
		-60
		-15
		-45

Пример расчета неразветвленной цепи синусоидального тока

 

Расчет цепей синусоидального тока производится символическим методом, при котором все электрические величины (токи, напряжения, ЭДС, сопротивления и мощности) выражаются в виде комплексных чисел. Используется алгебраическая и показательная форма их записи. Рассмотрим первый пример расчета цепи синусоидального тока.

Для схемы (рис.21) необходимо определить величины по п.п. 1-3 задания на выполнение РГР-4а, построить векторную диаграмму.

Дано: U_m = 180 В, j_u = -15⁰, R₁ = 2 Ом, X_L1=2 Ом, R₂ = 2 Ом, X_L2=2 Ом.

Рис. 21

 

Решение

Записываем закон изменения напряжения на зажимах цепи

u = U_msin(wt+j_u)=180sin(2pft+j_u)=180sin(314t-15⁰), В.

Определяем действующее значение напряжения: В. Комплекс напряжения, приложенного к цепи В.

Определяем комплекс полного сопротивления цепи

или в показательной форме .

Комплекс тока , закон изменения тока:

i = I_msin(2pft +j_i)= × 11, 74× sin(314t-71⁰).

Полная мощность, потребляемая цепью:

P = 833, 46 [Вт]

Q = 1236 [вар] (индуктивный характер цепи)

[В× А].

Для построения векторной диаграммы необходимо определить комплексы падений напряжения на элементах:

[В];

[В];

[В];

[В].

Векторную диаграмму строим в масштабах по току m_I и напряжению m_U.

m_U: 12В

m_I: 2А

 

Рис. 22

 

Задание на выполнение РГР-4б

 

Схемы электрических цепей с синусоидальным напряжением, параметры элементов которых указаны в табл. 4б, представлены на рис.23; частота питающего напряжения равна f = 50 Гц.

Требуется:

1. Определить действующее значение токов в ветвях и в неразветвленной части цепи комплексным (символическим) методом.

2. Записать выражения для мгновенных значений напряжения на участке цепи с параллельным соединением и для всех токов.

3. Определить активные и реактивные составляющие токов в ветвях.

4. Построить векторную диаграмму.

5. Определить активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью из сети.

Номер схемы выбирается по последней цифре студенческого билета.

Номер варианта выбирается в соответствии с порядковым номером фамилии студента в журнале группы.

Рис. 23

 

Таблица 4б

№ вар.	U, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L1, мГн	L2, мГн	L3, мГн	С1, мкФ	С2, мкФ	С3, мкФ

 

Рассмотрим второй пример.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B.1.4.- НАСЫЩЕННЫЕ T. ДАННЫЕ
2. CПИСОК ТЕМ ДЛЯ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ
3. DOUBLE NEEDS PANG PANG ТУШЬ ДЛЯ РЕСНИЦ от TONY MOLY – 660 руб
4. E) для факторов - капитал и земля
5. I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
6. I.УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ
7. II. Организация выполнения выпускной квалификационной работы
8. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.
9. III. Определите значимость для переводчика изучения особенностей литературного направления, к которому относится тот или иной автор.
10. III. Разделы, изученные ранее и необходимые для данного занятия (базисные знания)
11. IV. Здания для проживания людей
12. IX.3. Прелестные девушки для странных парней