Методические указания к выполнению РГР-2

2.3.1. Решение методом контурных токов

Определим количество независимых контуров – k в схеме, представленной на рис. 9. Запишем: n =b-у+1=3, где b - число ветвей, у – число узлов схемы. Выделим в ней три независимых контура (I, II, III). Направление контурных токов выбираем произвольно. Но для единообразия последующих формул и расчетов следует направлять контурные токи в одном направлении (по или против часовой стрелки). Уравнения по 2-му закону Кирхгофа в количестве n по методу контурных токов в общем виде запишутся:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁;

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ = E₂₂;

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = E₃₃.

Рис. 9

В системе уравнений каждое сопротивление с одинаковыми индексами - собственное сопротивление контура, равное сумме сопротивлений ветвей, входящих в данный контур. Оно всегда положительно:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₅; R₂₂ = R₆ + R₂ + R₄; R₃₃ = R₄ + R₅ + R₃.

Сопротивление с разными индексами - взаимное сопротивление для контуров, обозначенных этими индексами. Оно численно равно сопротивлению ветви на границе этих контуров (общей ветви). Если же контуры не имеют границы, то соответствующее общее сопротивление равно нулю.

Общее сопротивление принимается со знаком плюс, если контурные токи протекают по данной ветви в одном направлении, со знаком минус, если контурные токи протекают в противоположных направлениях. Направление токов ветвей при этом значения не имеют. Если в схеме все контурные токи направить в одном направлении (по или против часовой стрелке), то все общие сопротивления отрицательны:

R₁₂ = R₂₁ = -R₂; R₁₃ = R₃₁ = -R₅; R₂₃ = R₃₂ = -R₄.

ЭДС в правой части уравнений - контурные ЭДС, равные алгебраической (с учетом того же направления обхода, что и контурный ток) сумме ЭДС ветвей, входящих в данный контур:

E₁₁ = E₁ - E₂; E₂₂ = E₂ + E₄; E₃₃ = -(E₃ + E₄).

Собственные, общие сопротивления контуров и контурные ЭДС определяются из схемы, и затем решается система уравнений, то есть находятся контурные токи. Система решается по методу Крамера (с помощью определителей):

I₁₁ = D₁/D; I₂₂ = D₂/D; I₃₃ = D₃/D.

Здесь D - главный определитель системы, D_k - определитель, полученный из определителя D заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений (k = 1; 2; 3).

Теперь ток какой-либо ветви находится как алгебраическая сумма токов, протекающих по этой ветви (контурный ток, совпадающий с направлением тока ветви, принимается положительным: (I₁ = I₁₁;
I₂ = I₂₂-I₁₁; I₃ = -I₃₃; I₄ = I₂₂ - I₃₃; I₅ = I₁₁ - I₃₃; I₆ = I₂₂).

Если в результате решения системы ток в какой-либо ветви получится со знаком “минус”, то это означает, что действительное направление тока в ветви противоположно условно выбранному. Проверку решения по этому методу делают по законам Кирхгофа. Начинать проверку следует с подстановки найденных токов в уравнения, составленные по 2-му закону Кирхгофа. Правильность решения проверяется также расчетом баланса мощности.

2.3.2. Решение методом узловых потенциалов

Как и в методе контурных токов для составления узловых уравнений достаточно знать лишь число (у-1) узлов: 4-1=3 узла; j₄ = 0 задаемся произвольно. Уравнения по I-му закону Кирхгофа для остальных узлов по методу узловых потенциалов запишутся:

g₁₁j₁ + g₁₂j₂ + g₁₃j₃ = J₁₁;

g₂₁j₁ + g₂₂j₂ + g₂₃j₃ = J₂₂;

g₃₁j₁ + g₃₂j₂ + g₃₃j₃ = J₃₃.

Здесь g_ii с одинаковыми индексами - собственная проводимость узла, равная сумме проводимостей ветвей, подключенных к данному узлу, она всегда положительна.

; ; .

g_ij - с разными индексами - общая проводимость узлов, обозначенных этими индексами. Она численно равна проводимости ветви (или сумме проводимостей, если их несколько), соединяющей эти узлы. Если два узла не имеют общей ветви, то общая проводимость между ними равна нулю. Необходимо учесть, что они всегда отрицательны.

; ; .

В правой части уравнений - сумма токов источников тока, подключенных к данному узлу, задающий ток. Подходящие принимаются положительными, отходящие - отрицательными. Если в ветвях источники ЭДС, то они учитываются по формуле эквивалентной замены источников ЭДС и тока, то есть для k - той ветви имеем:

или J_k = g_kE_k.

Произведем эквивалентную замену источников ЭДС на источники тока:

; ; .

Решением системы уравнений являются неизвестные потенциалы узлов j₁, j₂, j₃. Система решается через определители, либо на ЭВМ с использованием стандартной программы решения линейной системы алгебраических уравнений. По найденным потенциалам определяются токи ветвей по закону Ома для k - той ветви, ток в которой направлен от узла n к узлу m, имеем:

; -

выражение для ветви, содержащей источник ЭДС, которая принимается положительной, если ее направление совпадает с выбранным направлением тока ветви.

;	;
;	;
;	.

В конце расчета привести таблицу токов ветвей, рассчитанных по методу контурных токов и узловых потенциалов, а также их отклонение в процентах. Различие между значениями токов, определенных по этим методам, не должно превышать 3%.

Осуществить проверку правильности расчетов, используя законы Кирхгофа и баланс мощности.

2.3.3. Расчет баланса мощности

Для проверки правильности расчета токов составляют уравнение баланса мощности. Баланс мощности отражает закон сохранения энергии и определяет равенство мощности, выработанной источником и мощности, потребляемой приемником:

где n - количество источников ЭДС, b - количество ветвей.

Особенность расчета состоит в том, что если ток какого-либо источника противоположен направлению ЭДС (то есть источник принимает энергию), то соответствующая мощность E_iI_i принимается отрицательной.

Прежде чем составлять баланс мощностей, необходимо оценить режим работы источников ЭДС (источники отдают энергию или принимают). После оценки режима работы источников ЭДС составляем баланс мощностей:

Суммарная мощность источников цепи равна суммарной мощности, потребляемой приемниками ( ). Рассмотренная цепь содержит четыре источника, мощность которых равна

Мощность приемника определяется по формуле . Тогда баланс мощностей для рассматриваемой схемы принимает следующий вид:

Погрешность, с которой выполняется баланс мощностей, определяется по формуле

Правильными считаются расчеты, результаты которых дают погрешность баланса мощностей менее 3%.

2.3.4. Построение потенциальной диаграммы для контура,

включающего два источника ЭДС

Рис.10

Принимаем j_a = 0, что соответствует заземлению точки а, и будем обходить контур из этой точки a по направлению обхода (по часовой стрелке), контролируя потенциал в каждой точке, придем к исходному потенциалу.

j_е = j_а - I₁R₁;

j_d = j_e + E₁;

j_с = j_d - I₅R₅;

j_b = j_c + I₂R₂;

j_a = j_b - E₂ = 0.

Рис. 11

Потенциальная диаграмма строится в осях j; R (рис.11). Длина оси R определяется из суммы всех сопротивлений контура aedcba и составляет
R₁ + R₅ + R₂ (Ом). Длина оси j определяется максимальным значением в положительной и отрицательной областях.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒