Формализованное описание экономических систем как систем массового обслуживания и методы их исследования.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 27Следующая ⇒

Для описания любой системы массового обслуживания необходимо установить:

1) общее число источников требований (N) и взаимосвязи между ними,

2) количество каналов обслуживания (m);

3) входящий поток требований (A);

4) поток обслуживания (B);

5) количество мест ожидания (K),

6) дисциплину и доступность обслуживания;

7) для многофазных систем – матрицу передач между фазами.

Таким образом, любую систему массового обслуживания можно формально описать следующим образом:

A/B/m/K/N,

где A-входной поток требований,

B-поток обслуживания,

N-общее число источников требований,

m-количество каналов обслуживания,

K-количество мест ожидания.

Входящий поток требований – это последовательность требований, поступающих в систему для обслуживания (совокупность периодичностей обслуживания).

В очень редких случаях требования поступают через одинаковые промежутки времени и такие потоки называют регулярными.

Однако, в большинстве случаев поток требований носит случайный характер и описывается математическим ожиданием ( ), характеристиками рассеяния (V), видом закона распределения интервалов между моментами поступления требований на обслуживание.

Вместо значения средней периодичности поступления заявок ( ) часто используют обратную величину, которая называется интенсивностью потока требований.

где l - интенсивность потока требований,

– средняя периодичность поступления заявок на обслуживание.

Поток обслуживания – это совокупность длительностей обслуживания; для его характеристики необходимо также указать математическое ожидание ( ) и степень рассеивания (V) и закон распределения интервалов длительности обслуживания.

Вместо средней длительности обслуживания – обратную величину, которая называется средней интенсивностью потока обслуживания ( ).

Для практических расчетов наиболее важными являются два вида потоков требований:

1. Простейший, который создается большим числом источников требований и характеризуется следующими свойствами:

- ординарностью,

- стационарностью,

- отсутствием последействия.

Ординарность – невозможность одновременного поступления двух или более требований в бесконечно малый промежуток времени.

Стационарность - предполагает, что средняя интенсивность потока не изменяется с течением времени.

Отсутствие последействия - вероятность поступления требований в определенный промежуток не зависит от предшествующего течения процесса.

2. С простым последействием – поток формируется конечным числом источников требований и интервалы времени между поступлениями соседних требований распределяются по экспоненциальному закону (пример, ремонт и обслуживание оборудования)

Для многофазных систем необходимо определить маршруты требований между фазами, что задается в виде матрицы, содержащей вероятности перехода требований между фазами.

Матрица передач для многофазной системы

			…	n
		P₁₂	…	P_1n
	P₂₁		…	P_2n
…	…	…	…	…
n	P_n1	P_n2	…	P₁

где Pij – характеризует вероятность перехода требования от i-фазы к j-фазе.

n – количество фаз обслуживания

Описав входные параметры системы массового обслуживания, необходимо определить показатели, характеризующие результаты ее работы (рис. 4.6, 4.7).

Рис. 4.6. Схема моделирования в теории массового обслуживания

Для расчета указанных результирующих характеристик СМО разработаны аналитические зависимости: для каждого типа системы свои зависимости. Вместе с тем теория массового обслуживания – относительно молодая наука, аналитические зависимости в которой разработаны лишь для очень ограниченного числа систем массового обслуживания. Это, в основном, системы с экспоненциальным распределением длительности обслуживания и интервалов между моментами требований.

В остальных случаях для расчета результирующих характеристик рекомендуется использовать имитационное моделирование на ПЭВМ.

Рис. 4.7. Схема применения теории массового обслуживания для оптимизации хозяйственных систем

Практический пример. Разработка норм численности с использованием ТМО (15)

Имеется инструментальный склад, обслуживающий несколько цехов фирмы. Аналитически известны интенсивность потока требований на инструмент λ и интенсивность потока обслуживаний μ за смену. Известны также потери в единицу времени: от простоя в очереди - n усл. ед., на содержание кладовщика - т усл. ед.

Менеджеров, организующих производственный процесс, интересует среднее время ожидания обслуживания и среднее время обслуживания при разном количестве кладовщиков s инструментального склада. Также важно найти оптимальное количество кладовщиков с учетом затрат в единицу времени на простой в очереди и на содержание кладовщика.

Методика решения задачи:

При работе одного кладовщика данную задачу можно представить в виде одноканальной системы обслуживания с неограниченной очередью.

ρ =

При ρ > 1 очередь растет неограниченно.

При ρ < 1 имеем следующие показатели.

Вероятность отсутствия очереди:

p₀ = 1 - ρ

Вероятность очереди из (k - 1) заявок:

p_k = ρ ^k (1 - ρ ) или p_k = ρ ^kp₀

Среднее время ожидания в системе T_c = 1/μ (1/(1 - ρ )).

T_c = Т_ож + Т_обс

Среднее время ожидания обслуживания:

Т_ож = 1/μ (1/(1 - ρ )).

Среднее время обслуживания:

Т_обс = 1/μ

При работе s кладовщиков задачу можно описать как многоканальную систему с неограниченной очередью.

Если ρ /s < 1, то существуют финальные вероятности.

Если ρ /s ≥ 1, то очередь растет до бесконечности.

При этом ρ может быть больше 1.

Предположим, что условие (ρ /s) < 1 выполнено. Тогда вероятность отсутствия очереди равна:

p₀=

Среднее число заявок в очереди:

L_оч= .

Среднее число заявок в системе (с учетом уже обслуживающихся заявок):

L_c=L_оч+p.

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Т_оч= .

Среднее время пребывания заявки в системе:

Т_с=

Предположим, что затраты в единицу времени на простой составляют 7 усл. ед., а на содержание одного кладовщика 5 усл. ед. Тогда получим следующие результаты при разном количестве кладовщиков (полагаем, что λ = 1, 6, μ = 0, 9, р = 1, 77).

При s=2: Т_с = 5, 11, общие затраты 7*5, 11 + 5*2 = 45, 77 усл. ед.

При s=3: Т_с= 1, 42, общие затраты 7 * 1, 42 + 5 * 3 = 24, 94 усл. ед.

При s=4: Т_c = 1, 17, общие затраты 7 * 1, 17 + 5 * 4 = 28, 19 усл. ед.

Видно, что с экономической точки зрения выгодно держать на складе трех кладовщиков.

Варианты заданий 1

(рассчитать показатели работы СМО

для одного кладовщика)

№ варианта
λ	1, 25	2, 50	3, 78	4, 89	3, 75	2, 80	1, 85	1, 90
μ	1, 50	3, 75	4, 56	5, 50	4, 45	3, 60	2, 76	2, 16

№ варианта
λ	1, 80	1, 34	1, 54	1, 45	2, 67	1, 76	2, 65	1, 35
μ	2, 16	2, 46	2, 00	1, 79	2, 74	1, 90	3, 46	1, 46

№ варианта
λ	1, 56	1, 47	1, 78	1, 90	1, 76	1, 54	1, 74	1, 85
μ	1, 95	2, 00	2, 16	2, 04	1, 80	1, 95	2, 16	2, 45

Варианты заданий 2

(рассчитать показатели работы СМО для 2, 3, ..., 5 кладовщиков,

принять решение об их оптимальном количестве с учетом затрат

на простой n и на содержание одного кладовщика m)

№ варианта
λ	1, 71	2, 50	2, 78	1, 89	1, 75	1, 80	2, 85	3, 90
μ	1, 00	1, 75	2, 00	1, 25	1, 15	1, 26	2, 00	3, 36
n
m

№ варианта
λ	3, 80	2, 34	3, 75	2, 45	3, 00	2, 76	1, 65	2, 35
μ	2, 56	1, 46	3, 00	1, 39	2, 54	2, 27	0, 96	1, 36
n
m

№ варианта
λ	1, 56	1, 47	2, 78	2, 90	2, 76	1, 54	1, 74	1, 85
μ	0, 85	0, 58	1, 96	1, 84	1, 73	0, 95	0, 96	1, 45
n
m

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒