Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Формализованное описание экономических систем как систем массового обслуживания и методы их исследования.



Для описания любой системы массового обслуживания необходимо установить:

1) общее число источников требований (N) и взаимосвязи между ними,

2) количество каналов обслуживания (m);

3) входящий поток требований (A);

4) поток обслуживания (B);

5) количество мест ожидания (K),

6) дисциплину и доступность обслуживания;

7) для многофазных систем – матрицу передач между фазами.

Таким образом, любую систему массового обслуживания можно формально описать следующим образом:

A/B/m/K/N,

где A-входной поток требований,

B-поток обслуживания,

N-общее число источников требований,

m-количество каналов обслуживания,

K-количество мест ожидания.

Входящий поток требований – это последовательность требований, поступающих в систему для обслуживания (совокупность периодичностей обслуживания).

В очень редких случаях требования поступают через одинаковые промежутки времени и такие потоки называют регулярными.

Однако, в большинстве случаев поток требований носит случайный характер и описывается математическим ожиданием ( ), характеристиками рассеяния (V), видом закона распределения интервалов между моментами поступления требований на обслуживание.

Вместо значения средней периодичности поступления заявок ( ) часто используют обратную величину, которая называется интенсивностью потока требований.

,

где l - интенсивность потока требований,

– средняя периодичность поступления заявок на обслуживание.

Поток обслуживания – это совокупность длительностей обслуживания; для его характеристики необходимо также указать математическое ожидание ( ) и степень рассеивания (V) и закон распределения интервалов длительности обслуживания.

Вместо средней длительности обслуживания – обратную величину, которая называется средней интенсивностью потока обслуживания ( ).

Для практических расчетов наиболее важными являются два вида потоков требований:

1. Простейший, который создается большим числом источников требований и характеризуется следующими свойствами:

- ординарностью,

- стационарностью,

- отсутствием последействия.

Ординарность – невозможность одновременного поступления двух или более требований в бесконечно малый промежуток времени.

Стационарность - предполагает, что средняя интенсивность потока не изменяется с течением времени.

Отсутствие последействия - вероятность поступления требований в определенный промежуток не зависит от предшествующего течения процесса.

2. С простым последействием – поток формируется конечным числом источников требований и интервалы времени между поступлениями соседних требований распределяются по экспоненциальному закону (пример, ремонт и обслуживание оборудования)

Для многофазных систем необходимо определить маршруты требований между фазами, что задается в виде матрицы, содержащей вероятности перехода требований между фазами.

 

Матрица передач для многофазной системы

 

  n
P12 P1n
P21 P2n
n Pn1 Pn2 P1

где Pij – характеризует вероятность перехода требования от i-фазы к j-фазе.

n – количество фаз обслуживания

 

Описав входные параметры системы массового обслуживания, необходимо определить показатели, характеризующие результаты ее работы (рис. 4.6, 4.7).

 
 

 


Рис. 4.6. Схема моделирования в теории массового обслуживания

 

Для расчета указанных результирующих характеристик СМО разработаны аналитические зависимости: для каждого типа системы свои зависимости. Вместе с тем теория массового обслуживания – относительно молодая наука, аналитические зависимости в которой разработаны лишь для очень ограниченного числа систем массового обслуживания. Это, в основном, системы с экспоненциальным распределением длительности обслуживания и интервалов между моментами требований.

В остальных случаях для расчета результирующих характеристик рекомендуется использовать имитационное моделирование на ПЭВМ.


 
 

 


Рис. 4.7. Схема применения теории массового обслуживания для оптимизации хозяйственных систем

 

Практический пример. Разработка норм численности с использованием ТМО (15)

 

Имеется инструментальный склад, обслуживающий несколько цехов фирмы. Аналитически известны интенсивность потока требований на инструмент λ и интенсивность потока обслуживаний μ за смену. Известны также потери в единицу времени: от простоя в очереди - n усл. ед., на содержание кладовщика - т усл. ед.

Менеджеров, организующих производственный процесс, интересует среднее время ожидания обслуживания и среднее время обслуживания при разном количестве кладовщиков s инструментального склада. Также важно найти оптимальное количество кладовщиков с учетом затрат в единицу времени на простой в очереди и на содержание кладовщика.

 

Методика решения задачи:

При работе одного кладовщика данную задачу можно представить в виде одноканальной системы обслуживания с неограниченной очередью.

ρ =

При ρ > 1 очередь растет неограниченно.

При ρ < 1 имеем следующие показатели.

Вероятность отсутствия очереди:

p0 = 1 - ρ

Вероятность очереди из (k - 1) заявок:

pk = ρ k (1 - ρ ) или pk = ρ kp0

Среднее время ожидания в системе Tc = 1/μ (1/(1 - ρ )).

Tc = Тож + Тобс

Среднее время ожидания обслуживания:

Тож = 1/μ (1/(1 - ρ )).

Среднее время обслуживания:

Тобс = 1/μ

При работе s кладовщиков задачу можно описать как многоканальную систему с неограниченной очередью.

Если ρ /s < 1, то существуют финальные вероятности.

Если ρ /s ≥ 1, то очередь растет до бесконечности.

При этом ρ может быть больше 1.

Предположим, что условие (ρ /s) < 1 выполнено. Тогда вероятность отсутствия очереди равна:

p0=

Среднее число заявок в очереди:

Lоч= .

Среднее число заявок в системе (с учетом уже обслуживающихся заявок):

Lc=Lоч+p.

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Точ= .

Среднее время пребывания заявки в системе:

Тс=

Предположим, что затраты в единицу времени на простой составляют 7 усл. ед., а на содержание одного кладовщика 5 усл. ед. Тогда получим следующие результаты при разном количестве кладовщиков (полагаем, что λ = 1, 6, μ = 0, 9, р = 1, 77).

При s=2: Тс = 5, 11, общие затраты 7*5, 11 + 5*2 = 45, 77 усл. ед.

При s=3: Тс= 1, 42, общие затраты 7 * 1, 42 + 5 * 3 = 24, 94 усл. ед.

При s=4: Тc = 1, 17, общие затраты 7 * 1, 17 + 5 * 4 = 28, 19 усл. ед.

Видно, что с экономической точки зрения выгодно держать на складе трех кладовщиков.

Варианты заданий 1

(рассчитать показатели работы СМО

для одного кладовщика)

 

№ варианта
λ 1, 25 2, 50 3, 78 4, 89 3, 75 2, 80 1, 85 1, 90
μ 1, 50 3, 75 4, 56 5, 50 4, 45 3, 60 2, 76 2, 16

 

№ варианта
λ 1, 80 1, 34 1, 54 1, 45 2, 67 1, 76 2, 65 1, 35
μ 2, 16 2, 46 2, 00 1, 79 2, 74 1, 90 3, 46 1, 46

 

№ варианта
λ 1, 56 1, 47 1, 78 1, 90 1, 76 1, 54 1, 74 1, 85
μ 1, 95 2, 00 2, 16 2, 04 1, 80 1, 95 2, 16 2, 45

 

Варианты заданий 2

(рассчитать показатели работы СМО для 2, 3, ..., 5 кладовщиков,

принять решение об их оптимальном количестве с учетом затрат

на простой n и на содержание одного кладовщика m)

 

№ варианта
λ 1, 71 2, 50 2, 78 1, 89 1, 75 1, 80 2, 85 3, 90
μ 1, 00 1, 75 2, 00 1, 25 1, 15 1, 26 2, 00 3, 36
n
m

 

№ варианта
λ 3, 80 2, 34 3, 75 2, 45 3, 00 2, 76 1, 65 2, 35
μ 2, 56 1, 46 3, 00 1, 39 2, 54 2, 27 0, 96 1, 36
n
m

 

№ варианта
λ 1, 56 1, 47 2, 78 2, 90 2, 76 1, 54 1, 74 1, 85
μ 0, 85 0, 58 1, 96 1, 84 1, 73 0, 95 0, 96 1, 45
n
m

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 860; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.022 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь