Необходимый признак сходимости числовых рядов

Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю, т.е. .

 

Следствие.Если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится.

 

ПРИМЕРЫ:

 

1. Гармонический ряд расходится, несмотря на то, что .

2. Обобщенный гармонический ряд сходится при a > 1 и рас­­­­хо­дится при a £ 1, хотя и выполнено условие .

3. Числовой ряд расходится, поскольку .

 

Таким образом, если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится, если же предел общего члена ряда равен нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Для окончательного исследования сходимости числовых рядов с положительными членами (т.е. рядов, для которых a_n > 0 при любых n Î N) наиболее часто применяются следующие два достаточ­ных признака.

 

Признак сравнения рядов

Если для всех n Î N выполняется неравенство an £ bn, то, если сходится ряд , то сходится и ряд , если же расходится ряд , то расходится и ряд .

 

ПРИМЕРЫ:

1. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а геометрический ряд сходится, т.к. , то сходится и исходный ряд (по признаку сравнения рядов).

2. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения рядов будет расходиться и исходный ряд.

 

Признак Даламбера

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения . Тогда: 1). Если p < 1, то ряд сходится. 2). Если p > 1, то ряд расходится. 3). Если p = 1, вопрос о сходимости ряда требует дополнительных исследований.

 

ПРИМЕРЫ:

1. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:

 

,

Следовательно, на основании признака Даламбера ряд сходится.

2. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:

.

Следовательно, на основании признака Даламбера нельзя сделать вывода о сходимости данного ряда, и требуется проведение дополнительных исследований.

 

Знакочередующимся называется числовой ряд, если его члены поочередно являются положительными и отрицательными, т.е. если он имеет вид: , где для всех n Î N С_n > 0.

Для этих числовых рядов существует признак сходимости, который является необходимым и достаточным.

 

Признак Лейбница

Если для членов знакочередующегося ряда выполняется неравенство Cn ³ Cn+1 и существует и равен нулю предел , то ряд этот сходится, а его сумма S £ C1.

 

ПРИМЕРЫ:

1. Исследуйте сходимость ряда .

Для этого ряда выполняется неравенство , а также равенство , поэтому на основании признака Лейбница заключаем, что данный ряд сходится.

 

2. Исследуйте сходимость ряда .

Убедившись, что для данного ряда выполняется неравенство, противоположное требуемому: , а также, что

, можно сделать вывод, что данный ряд расходится.

 

Знакопеременным называется числовой ряд, любой член которого может быть как положительным, так и отрицательным.

 

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Если ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда, сходится, то сходится и исходный знакопеременный ряд.

 

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится сам ряд, так и ряд, составленный из модулей его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

 

ПРИМЕР: Ряд является условно сходящимся, поскольку сам этот ряд сходится по признаку Лейбница (убедитесь в этом сами), а ряд, составленный из модулей его членов , расходится как гармонический ряд.

 

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд, имеющий вид:

 

.

 

Где a_n – действительные числа, а число y₀ называется центром степенного ряда.

Замена x = y – y₀ переводит степенной ряд к новому виду, который называется степенным рядом с нулевым центром:

 

 

ПРИМЕР: Ряд является степенным рядом с нулевым центром.

 

Совокупность значений х, при которых степенной ряд с нулевым центром сходится, называется областью сходимости степен­ного ряда.

 

Структура области сходимости степенного ряда устанавли­вается следующей теоремой.

 

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0, то он сходится и притом абсолютно, при всех х таких, что ½ х½ < ½ x0½. Если степенной ряд расходится при х = х1, то он расходит­ся при всех х таких, что ½ х½ > ½ x1½.

Радиусом сходимости степенного ряда с нулевым центром называется число R ³ 0 такое, что при ½ х½ < R ряд сходится, а при ½ х½ > R ряд расходится. При этом интервал (- R, R) называется ин­тер­валом сходимости степенного ряда.

Замечание.На концах интервала сходимости, т.е. при х = ± R, ряд может как сходиться так и расходиться.

 

Радиус сходимости степенного ряда определяется формулой:

 

 

ПРИМЕРЫ:

1. Для степенного ряда найдем: . Поэтому данный ряд сходится на интервале

2. Для степенного ряда найдем: . Поэтому данный ряд сходится только в одной точке х = 0.

 

 

Специфическими разновидностями конечных степенных рядов являются ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция f (x) имеет в точке а и в некоторой ее окрестности производные порядка до (n + 1) включительно, а х – любое значение аргумента из указанной окрестности и х ¹ а. Тогда существует точка q Î (а, х) такая, что справедлива формула:

 

Эта формула называется формулой Тейлора, а представле­ние функции в виде степенного ряда называется разложением функции в ряд Тейлора. Последнее слагаемое в формуле Тейлора

 

 

называется остаточным членом и характеризует абсолютную погрешность представления функции в виде ряда Тейлора с n слагае­мыми.

Если в формуле Тейлора положить а = 0, то получим формулу Маклорена:

 

 

Представление функции в виде степенного ряда по формуле Маклорена называется разложением функции в ряд Маклорена.

 

Обе приведенные формулы позволяют с контролируемой точностью заменять любые дифференцируемые функции многочленами (конечными степенными рядами) в некоторой, небольшой, окрестности либо точки а (ряд Тейлора), либо точки 0 (ряд Маклорена).

 

ПРИМЕР: Разложить функцию в ряд Маклорена.

Поскольку все производные нечетного порядка заданной функции имеют вид и, следовательно, при х = 0 равны (- 1), а все производные четного порядка при х = 0 равны 1, можно заданную функцию представить в виде:

 

 

 

Рекомендуемая литература по теме 7: [1 ÷ 3].

 

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 7:

1. Что можно сказать о сходимости числового ряда с положительными членами , если известно, что ряд сходится?

 

 

 

2. Будет ли сходящимся ряд с положительными членами, для которого предел отношения последующего члена к предыдущему члену равен 2?

____________________________________________________________

 

3. Будет ли сходящимся знакопеременный ряд, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится?

 

 

 

4. Выполнения каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда?

 

 

 

5. Как называется множество всех значений х, при которых степенной ряд с нулевым центром сходится?

 

 

 

6. Обязательно ли сходится степенной ряд при x = ± R, где R – радиус его сходимости?

 

 

 

7. Какую функцию можно представить в виде разложения в ряд Тейлора?

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Налимов В.Н. Основы математического анализа для экономистов: Учебное пособие. – М.: Издание ИМЭС, 2013.

2. Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Лекционный курс: Учебное пособие по курсу «Математика». – М.: Издание ИМЭС, 2006.

3. Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Практические занятия (семинары): Учебное пособие по курсу «Математика». – М.: «Весть», 2007.

 

 

⇐ Предыдущая234567891011

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм 2.1. Расчет внутригрупповых дисперсий результативного признака
2. Анализ сдвигов в значении признака.
3. БД – совокупность таблиц, объединенных по какому-либо признаку.
4. Беременная и родильница с признаками тяжелой преэклампсии подлежит госпитализации в ПИТ или родовой блок больницы III уровня
5. Билет 39. Понятие нормы права. Её признаки. Виды правовых норм.
6. БИЛЕТ № 1: ПРАВОВОЕ ГОСУДАРСТВО: ПОНЯТИЕ И ПРИЗНАКИ
7. Блок 1. Понятие о морфологии. Имена. Имя существительное: определение, грамматические признаки, правописание
8. В задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
9. В помощь вам приведу несколько рядов психологического состояния.
10. В6. ПОНЯТИЕ И ПРИЗНАКИ ГОСУДАРСТВА. КЛАССОВЫЙ И СОЦИАЛЬНЫЙ ПОДХОДЫ К ПОНИМАНИЮ СУЩНОСТИ ГОСУДАРСТВА.
11. В6. ПОНЯТИЕ И ПРИЗНАКИ ГОСУДАРСТВА. КЛАССОВЫЙ И СОЦИАЛЬНЫЙ ПОДХОДЫ К ПОНИМАНИЮ СУЩНОСТИ ГОСУДАРСТВА.
12. В73.Юридические факты: понятие, признаки, классификация.