Расстояние между двумя точками.

Пусть задана прямоугольная система координат.

Теорема 1.1. Для любых двух точек М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) плоскости расстояние d между ними выражается формулой

d = (3)

Доказательство. Опустим из точек М₁ и М₂ перпендикуляры М₁В и М₂А соответственно

на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М₁В и М₂А (рис. 1.4). Возможны следующие случаи:

1)Точки М₁, М₂ и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х₂; у₁). Нетрудно заметить что М₁К = ô х₂ – х₁ô, М₂К = ô у₂ – у₁ô. Т.к. ∆ М₁КМ₂ прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М₁М₂ = = .

2) Точка К совпадает с точкой М₂, но отлична от точки М₁ (рис. 1.5). В этом случае у₂ = у₁

и d = М₁М₂ = М₁К = ô х₂ – х₁ô = =

= .

3) Точка К совпадает с точкой М₁, но отлична от точки М_2. В этом случае х₂ = х₁ и d =

М₁М₂ = КМ₂ = ô у₂- у₁ô = = .

4) Точка М₂ совпадает с точкой М₁. Тогда х₁ = х₂, у₁ = у₂ и

d = М₁М₂ = О = .

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М₁М₂ и пусть М ─ любая точка этого

отрезка, отличная от точки М₂ (рис. 1.6). Число l, определяемое равенством l = , называется отношением, в котором точка М делит отрезок М₁М₂.

Теорема 1.2. Если точка М(х; у) делит отрезок М₁М₂ в отношении l, то координаты этой определяются формулами

х = , у = , (4)

где (х₁; у₁) ─ координаты точки М₁, (х₂; у₂) ─ координаты точки М₂.

Доказательство. Докажем первую из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.

1) Прямая М₁М₂ перпендикулярна оси Ох. Тогда х₁ = х = х₂ и поэтому

х = х₁ = = = .

2) Прямая М₁М₂ не перпендикулярна оси Ох (рис. 1.6). Опустим перпендикуляры из точек М₁, М, М₂ на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р₁, Р, Р₂. По теореме о пропорциональных отрезках = l.

Т.к. Р₁Р = ô х – х₁ô, РР₂ = ô х₂ – хô и числа (х – х₁) и (х₂ – х) имеют один и тот же знак (при х₁ < х₂они положительны, а при х₁ > х₂отрицательны), то

l = = ,

х – х₁ = l(х₂ – х), х + lх = х₁ + lх₂,

х = .

Следствие 1.2.1. Если М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) ─ две произвольные точки и точка М(х; у) ─ середина отрезка М₁М₂, то

х = , у = (5)

Доказательство. Так как М₁М = М₂М, то l = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).

Площадь треугольника.

Теорема 1.3. Для любых точек А(х₁; у₁), В(х₂; у₂) и С(х₃; у₃), не лежащих на одной

прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой

S = ô (х₂ – х₁)(у₃ – у₁) – (х₃ – х₁)(у₂ – у₁)ô (6)

Доказательство. Площадь ∆ АВС, изображённого на рис. 1.7, вычисляем следующим

образом:

S_ABC = S_ADEC + S_BCEF – S_ABFD_.

Вычисляем площади трапеций:

S_ADEC = ,

S_BCEF =

S_ABFD =

Теперь имеем

S_ABC = ((х₃ – х₁)(у₃ + у₁) + (х₃ – х₂)(у₃ + у₂) - (х₂ – -х₁)(у₁ + у₂)) = (х₃у₃ – х₁у₃ + х₃у₁ – х₁у₁+ + х₂у₃ – -х₃у₃ + х₂у₂ – х₃у₂ – х₂у₁ + х₁у₁ – х₂у₂ + х₁у₂) = (х₃у₁ – х₃у₂ + х₁у₂ – х₂у₁ + х₂у₃ –

- х₁у₃) = (х₃(у₁ – у₂) + х₁у₂ – х₁у₁ + х₁у₁ – х₂у₁ + у₃(х₂ – х₁)) = (х₁(у₂ – у₁) – х₃(у₂ – у₁) + +у₁(х₁ – х₂) – у₃(х₁ – х₂)) = ((х₁ – х₃)(у₂ – у₁) + (х₁ – х₂)(у₁ – у₃)) = ((х₂ – х₁)(у₃ – у₁) –

- (х₃ – х₁)(у₂ – у₁)).

Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.

Лекция 2.

Уравнение прямой линии на плоскости: уравнение прямой с главным коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2.1. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая линия L.

Определение 2.1. Уравнение вида F(x; y) = 0, связывающее переменные величины x и y, называется уравнение линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой.

Примеры уравнений линий на плоскости.

1) Рассмотрим прямую, параллельную оси Oy прямоугольной системы координат (рис. 2.1). Обозначим буквой A точку пересечения этой прямой с осью Ox, (a; o) ─ её ор-

динаты. Уравнение x = a является уравнением данной прямой. Действительно, этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(a; y) этой прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на прямой. Если a = 0, то прямая совпадает с осью Oy, которая имеет уравнение x = 0.

2) Уравнение x - y = 0 определяет множество точек плоскости, составляющих биссектрисы I и III координатных углов.

3) Уравнение x²- y² = 0 ─ это уравнение двух биссектрис координатных углов.

4) Уравнение x² + y² = 0 определяет на плоскости единственную точку O(0; 0).

5) Уравнение x² + y² = 25 ─ уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒