Взаимное расположение двух плоскостей.

 

Пусть даны две плоскости

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А₁; В₁; С₁), вторая плоскость (А₂; В₂; С₂).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому

─ условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

 

Угол между двумя плоскостями.

 

Угол между двумя плоскостями

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0

это угол между их нормальными векторами и , поэтому

cosj = = .

 

Прямая в пространстве.

Векторно-параметрическое уравнение прямой.

Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и имеющей направляющий вектор = (а₁; а₂; а₃).

Отложим из точки М₀ вектор . Пусть М(х; у; z) ─ произвольная точка данной прямой, а ─ её радиус- вектор точки М₀. Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой.

 

В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х; у; z) = (х₀; у₀; z₀) + (а₁; а₂; а₃)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

х = х₀ + а₁t,

у = у₀ +а₂t, (4)

z = z₀ +a₃t

 

Канонические уравнения прямой.

Из уравнений (4) выразим t:

t = , t = , t = ,

откуда получаем канонические уравнения прямой

 

= = (5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁). Поскольку прямая проходит через точка М₁(х₁; у₁; z₁), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде

(6)

 

Угол между двумя прямыми.

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а₁; а₂; а₃) и .

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

 

cosj = = (7)

 

Условие перпендикулярности прямых:

а₁в₁ + а₂в₂ + а₃в₃ = 0.

Условие параллельности прямых:

l,

т.е.

. (8)

 

Взаимное расположение прямых в пространстве.

 

Пусть даны две прямые и .

Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е.

= 0 (9)

 

Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.

 

Если же ¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.

 

 

Задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Прямая как пересечение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0

Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие

.

Пусть, например ¹ .

Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор

 

= × = = .

 

Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение

z = z₀ и решая систему

,

получаем значения х = х₀, у = у₀. Итак, искомая точка М(х₀; у₀; z₀).

Искомое уравнение

.

 

 

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть задана прямая х = х₀ + а₁t, y = y₀ + a₂t, z = z₀ + a₃t

и плоскость

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений

 

откуда

А₁(х₀ + а₁t) + B₁(y₀ + a₂t) + C₁(z₀ + a₃t) + D₁ = 0,

(A₁a₁ + B₁a₂ + C₁a₃)t + (A₁x₀ + B₁y₀ + C₁z₀ + D₁) = 0.

 

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ ¹ 0, то система имеет единственное решение

 

t = t₀ = - .

 

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М₁(х₁; у₁; z₁), где

х₁ = х₀ + а₁t₀, y₁ = y₀ + a₂t₀, z₁ = z₀ + a₃t₀.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁ ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.

Если же А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁ = 0, то прямая принадлежит плоскости.

 

 

Угол между прямой и плоскостью.

Найдём угол j между прямой

= =

и плоскостью А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

 

Поскольку вектор = (А₁; В₁; С₁) образует с направляющим вектором = (а₁; а₂; а₃) угол y = - j или y = + j, то cosy = cos( - j) или

cosy = cos( + j), откуда cosy = sinj или cosy = - sinj.

Значит, sinj = ô cosyô = .

 

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением Ах +Ву + Сz +D = 0. Расстояние от точки М(х₀; у₀; z₀) до данной плоскости вычисляется по формуле

 

d = .

 

 

Цилиндры второго порядка.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой ( образующей ), движущейся вдоль некоторой линии ( направляющей ) и остающейся параллельной исходному направлению.

Определение. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность,

направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.

Рассмотрим цилиндры второго порядка, у которых образующая параллельна оси Оz.

 

1). Эллиптический цилиндр (рис. 5).

.

 

В частности эллиптический цилиндр имеет в качестве направляющей окружность. Его уравнение

или .

 

 

2). Гиперболический цилиндр (рис. 6)

-

 

.

3) Параболический цилиндр (рис. 7).

х² = 2ру.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. ЭВОЛЮЦИЯ ДВУХ РАЗНЫХ ПОДХОДОВ
2. IV. Математическая двухзонная модель пожара в здании
3. а, г – пресс канты с двухсторонней «прибылью», б – пресс-канты с односторонней «прибылью», в – пресс-канты без «прибыли»
4. А, г – пресс канты с двухсторонней «прибылью», б – пресс-канты с односторонней «прибылью», в – пресс-канты без «прибыли»
5. В случае равного количества очков, набранных командами двух стран, имеющих по одинаковому количеству первых мест, та команда, у которой больше вторых мест имеет преимущество при распределении и т.д.
6. В таблице содержатся данные по продаже картофеля за два года на двух рынках.
7. ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ АТОМОВ В МОЛЕКУЛАХ БИООРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИЕНИЙ. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ЗАМЕСТИТЕЛЕЙ. КИСЛОТНЫЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БИООРГАНИЧЕСКИХ МОЛЕКУЛ
8. Взаимное исключение с активным ожиданием
9. Взаимное расположение собеседников
10. Воздействие ЭМИ бывает двух видов: тепловое и специфическое.
11. Выбор и расположение светильников