Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.

Определение. Ступенчатой будем называть матрицу, которая обладает следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, то (I + 1)-я строка также нулевая,

2) если первые ненулевые элементы i-й и (I + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и R, соответственно, то k < R.

Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (I + 1)-й строке. Например, матрицы

А₁ = , А₂ = , А₃ =

является ступенчатыми, а матрицы

В₁ = , В₂ = , В₃ =

ступенчатыми не являются.

Теорема 5.1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

Проиллюстрируем эту теорему на примере.

А=

Получившаяся матрица ─ ступенчатая.

Определение. Рангом матрицы будем называть число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Например, ранг матрицы А в предыдущем примере равен 3.

Лекция 6.

Определители, их свойства. Обратная матрица и её вычисление.

Определители второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

А =

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│ А│ = = .

Элементы a_ij называются элементами определителя │ А│, элементы а₁₁, а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₁₂, а₂₁ ─ побочную.

Пример. = -28 + 6 = -22

Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А =

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│ А│ = =

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника.

= ─

Примеры:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, т.е. │ Е₃│ = 1.

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение. Минором элемента a_ij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1)ⁱ⁺^j.

Пример. Вычислим минор М₂₃ и алгебраическое дополнение А₂₃ элемента а₂₃ в матрице

А =

Вычислим минор М₂₃:

М₂₃ = = = - 6 + 4 = -2

Тогда

А₂₃ = (-1)²⁺³М₂₃ = 2

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во. По определению

= (1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраическое дополнение А₂₁, А₂₂, А₂₃:

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = -( ) =

А₂₂ = (-1)²⁺² =

А₂₃ = (-1)²⁺³ = - ( ) =

Преобразуем теперь формулу (1)

│ А│ = ( ) + ( ) + ( ) = А₂₁+ А₂₂ + А₂₃

Формула

│ А│ = А₂₁+ А₂₂ + А₂₃

называется разложением определителя │ А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца.

Пример.

= (по элементам второго столбца) = 1× (-1)¹⁺²+ 2 × (-1)²⁺²+

+ (-1)(-1)³⁺²= - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. Определитель n-го порядка (n Î N).

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице n-го порядка

А =

Называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

│ A│ = А_i1 + A_i2 + … + A_in = А_1j + A_2j + … + A_nj

Нетрудно заметить, что при n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка.

Пример. = (по элементам 4-й строки) = 3× (-1)⁴⁺²+

+ 2× (-1)⁴⁺⁴= 3(-6 + 20 – 2 – 32) +2(-6 +16 +60 +2)=3(-20) +2× 72 = -60 +144 = 84.

Заметим, что если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя его удобно разложить по элементам этой строки (столбца).

Пример.

│ Е_n│ = = 1 × │ E_n_-1│ = … = │ E₃│ = 1

Свойства определителей.

Определение. Матрицу вида

или

будем называть треугольной матрицей.

Свойство 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

= =

Свойство 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Свойство 3.. При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.

│ А│ = │ А^t│.

Свойство 4. Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого Элемента некоторой строки на число k, то

│ В│ = k│ А│

Свойство 5.

= =

Свойство 6. Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк, то │ В│ = − │ А│.

Свойство 7. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Свойство 9. Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │ АВ│ =│ А│ │ В│.

Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А порядка n называется обратной, если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е_n. В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратная матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В ─ обратные матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ)^-1 =

В^-1 × А^-1.

Доказательство.

1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Е_n и АС = СА = Е_n. Тогда В = ВЕ_n= В(АС) = (ВА)С = Е_nС = С.

2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А^-1, ей обратная, причём

АА^-1 = Е_n.

По свойству 9 определителя │ АА^-1│ =│ А│ │ А^-1│. Тогда │ А│ │ А^-1│ =│ Е_n│, откуда

│ А│ │ А^-1│ = 1.

Следовательно, │ А│ ¹ 0.

3) Действительно,

(АВ)(В^-1А^-1) = (А(ВВ^-1))А^-1 = (АЕ_n)А^-1 = АА^-1 = Е_n.

(В^-1А^-1)(АВ) = (В^-1(А^-1А))В = (В^-1Е_n)В = В^-1В = Е_n.

Следовательно, АВ ─ обратимая матрица, причём (АВ)^-1 = В^-1А^-1.

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема 3. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │ А│ ¹ 0, то

А^-1 = =

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы А =

Решение. │ А│ = = 6 + 1 = 7.

Так как │ А│ ¹ 0, то существует обратная матрица

А^-1 = =

Вычисляем А₁₁ = 3, А₁₂ = 1, А₂₁ = -1, А₂₂ = 2.

Тогда

А^-1 = .

Лекция 7.

Системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Правило Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений.

Систем линейных уравнений.

Совокупность уравнений вида

(1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными х_1,х_2,…, х_n. Числа a_ij называются коэффициентами системы, а числа b_i ─ свободными членами.

Решением системы (1) называется совокупность чисел с₁, с₂, …, с_n, при подстановке которых в систему (1) вместо х₁, х₂, …, х_n, получаем верные числовые равенства.

Решить систему ─ значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

Матрица, составленная из коэффициентов системы

А =

Называется матрицей системы (1). Если к матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим матрицу

В = ,

которую называют расширенной матрицей системы (1).

Если обозначим

Х = , С = , то систему (1) можно записать в виде матричного уравнения АХ=С.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒