Смешанное произведение векторов.

Определение. Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на . В результате получим число ( × )× , которое называют смешанным произведение трёх векторов , и .

 

Теорема 3. Смешанное произведение ( × )× трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «− », если эта тройка ─ левая.

Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , и (рис.5).

Построим вектор × и пусть ─ единичный вектор, одинаково направленный с вектором × . Так как │ × │ = S ─ площадь параллелограмма OBDA, построенного на векторах и , то × = × S.

Возьмём ось ℓ, одинаково направленную с вектором . Тогда по свойствам проекции векторов пр_е = соsφ, где φ ─ угол между и осью ℓ. Тогда │ пр_е │ = h, где h ─ высота параллелепипеда. Отметим, что если тройка , , правая (рис.5), то h = пр_е = = соsφ. Если же тройка , , левая, то h = − пр_е = − соsφ.

Теперь,

( × )× = ( S)× = ( × )S = cosφ × S = S × соsφ = ± S × h = ± V_{параллелепипеда,}

причём знак «+» берётся, если , , ─ правая тройка, и знак «− », если она левая.

 

Следствие 3.1. Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение ( × )× = 0.

Доказательство.

 

 

Отметим, что если тройка , , правая, то тройка , , также правая (рис.6(а)), а если тройка , , левая, то тройка , , также левая (рис.6(б)).

Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах , , и векторах , , ─ один и тот же. Поэтому

( × )× = ±V_парал., ( × )× = ± V_{паралл.}

Так как тройки , , и , , либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому

( × )× = ( × )× = × ( × ).

Ввиду следствия 3.2 смешанное произведение векторов , , ещё обозначают .

 

Теорема 4. Если = (х₁; у₁; z₁), = (х₂; у₂; z₂), = (х₃; у₃; z₃), =

Доказательство.

= ( × )× = х₃ × − у₃ × + z₃ × = .

 

Пример. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах =(3; 1; 2),

= (2; 2; 3), = (1; 3; 1).

Решение.

V = │ │ = │ 6 + 12 + 3 – 4 – 27 – 2│ = │ − 12│ = 12 (куб. ед.)

Ответ: 12.

Лекция 10.

Элементы аналитической геометрии в пространстве.

Определение. Уравнением поверхности в заданной системе координат в пространстве называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.

Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка. Мы рассмотрим поверхности 1-го и 2-го порядков.

 

Плоскость в пространстве.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

 

Пусть дана точка М₀(х₀; у₀; z₀) и ненулевой вектор = (А, В, С). Требуется составить

уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно указанному вектору . В таком случае вектор называют нормальным вектором плоскости.

Пусть М(х; у; z) ─ произвольная точка плоскости. Так как вектор = (х-х₀; у-у₀; z-z₀) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

= 0.

Тогда

А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0 (1)

Получили искомое уравнение.

 

Общее уравнение плоскости.

 

Раскроем скобки в уравнении (1):

А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0

Ах + Ву +Сz + (- Ах₀ – Ву₀ – Сz₀) = 0

Обозначим через D = - Ах₀ – Ву₀ – Сz₀ . Получаем уравнение

 

Ах + Ву +Сz + D = 0, (2)

которое называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

1) D = 0. Уравнение Ах + Ву +Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2) С = 0. В этом случае нормальный вектор (А; В; 0) перпендикулярен оси Оz. Поэтому плоскость Ах + Ву + D = 0 параллельна оси Оz.

3) С = 0, D = 0. С учётом п.1) и п.2) плоскость Ах +Ву = 0 проходит через ось Oz.

4) В = 0, С = 0. В этом случае нормальный вектор (А; 0; 0) перпендикулярен плоскости Oyz. Поэтому плоскость Ах + D = 0 параллельно оси Oyz.

5) В = 0, С = 0, D = 0. Плоскость Ах = 0 или х = 0 определяет координатную плоскость Oyz.

Аналогично рассматриваются всевозможные другие случаи.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть даны три точки пространства М₁(х₁; у₁; z₁), М₂(х₂; у₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃)? Не лежащие на одной прямой. Пусть М(х; у; z) ─ произвольная точка этой плоскости

(х – х₀; у – у₀; z – z₀), (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁), (х₃ – х₁; у₃ – у₁; z₃ – z₁) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Следовательно, искомое уравнение

= 0 (3)

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
2. Договор об отчуждении исключительного права на произведение
3. Договор об отчуждении исключительного права на произведение.
4. Иерархическая структурная организация и самовоспроизведение как
5. Компоновка операций и технологического оборудования при автоматизации технологических процессов. Последовательное, параллельное и смешанное агрегатирование
6. Линейная зависимость и независимость векторов.
7. Логическая сумма и логическое произведение
8. Ответственность за нарушение исключительного права на произведение и исключительного права
9. Отраженное воспроизведение рядов слогов и слов
10. Права авторов и иных правообладателей. Срок действия исключительного права на произведение. Защита авторских прав.
11. Право публикатора на произведение науки, литературы или искусства
12. Произведение рассматривается как сумма одинаковых слагаемых. Детям показывается, что первый множитель показывает – какое число нужно взять, а второй множительно сколько раз нужно взять это число.