Матричный метод решения систем линейных уравнений.

 

Этот метод также применяется для решения крамеровских систем. Основан он на равенстве

Х = А^-1В,

кторое мы получили при доказательстве теоремы 7.1.

 

Пример. Решить систему матричным методом

 

Ответ: (3; -1; 2).

 

 

Лекция 8.

Прямоугольная декартова система координат.

Векторы и действия над ними. Координаты вектора.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей Ох, Оу и Оz. Точка О называется началом координат, Ох ─ осью ординат, Oz ─ осью аппликат (рис.1).

Пусть М ─ произвольная точка пространства (рис.1). Проведём через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения с осями Ох, Оу и Оz обозначим соответственно М_х, М_у и М_z. Прямоугольными (декартовыми) координатами точки М в пространстве называются числа х₀, у₀ и z₀, соответствующие точками М_х, М_у и М_z на соответствующих осях. При этом х₀ называется абсциссой, у₀ ─ ординатой, z₀ ─ аппликатой точки М. То, что точка М имеет координаты х₀, у₀ и z₀ обозначается: М(х₀; у₀; z₀).

Плоскости Оху, Оуz и Охz называются координатными плоскостями. Они делят всё пространство на восемь частей, называемых октантами.

 

Понятие вектора.

 

Некоторые физические величины (например: температура, масса, объём, длина) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единицы измерения. Такие величины называются скалярными. Другие величины (например: сила, скорость, ускорение) характеризуются не только числом, но и направлением. Эти величины называются векторными. Для описания таких величин в математике введено понятие «вектор».

Определение. Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок с заданными на нём направлением. Направленный отрезок называется вектором. На рисунке направление вектора обычно изображают стрелкой. Если в упорядоченной паре точка А первая, то её называют началом вектором, а точку В ─ концом вектора. Вектор обозначается в этом случае. Иногда векторы обозначают малыми буквами , и т.д.

Модулем вектора называется его длина. Обозначают модуль или . Нуль-вектор ( или нулевой вектор) ─ это вектор, начало и конец которого совпадают; обозначается он . Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление не определено. Единичным называется вектор, длина которого равна единице.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно (рис.2).

Векторы и называются равными (обозначается = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули.

Векторы и называются противоположными (обозначается = − ), если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют равные модули.

Три вектора , , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

 

Линейные операции над векторами.

К линейным операциям над векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

1. Определение. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если вектор отложен из конца вектора (рис.3). Обозначается: = + .

Суммой векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего для = 1, 2, …, n-1.

 

Свойства суммы векторов:

1. Свойство коммутативности: + = + (рис.4).

 

 

2. Свойство ассоциативности: ( + ) + = + ( + ) (рис. 5).

 

 

3. + = . 4. + (− ) = .

 

2.Определение. Разностью двух векторов и (обозначается: − ) называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т.е. = − , если + = (рис.6).

Нетрудно заметить, что = − = + (− ).

 

3. Определение. Произведение вектора ≠ 0 на число α ≠ 0 называется вектор (обозначается = α ), удовлетворяющий следующим условиям:

а) ;

б) векторы и коллинеарны;

в) векторы и одинаково направлены при α > 0 и противоположно направлены при α < 0.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. I. ФИЛОСОФИЯ ПРАВА В СИСТЕМЕ НАУК
3. II этап. Обоснование системы показателей для комплексной оценки, их классификация.
4. II. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОБСЛЕДОВАНИЕ ДЫХАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ У ДЕТЕЙ
5. LANGUAGE IN USE - Повторение грамматики: система времен английских глаголов в активном залоге
6. Linux - это операционная система, в основе которой лежит лежит ядро, разработанное Линусом Торвальдсом (Linus Torvalds).
7. SWIFT как система передачи данных.
8. VI. ОРАТОРСКАЯ РЕЧЬ В СИСТЕМЕ
9. VI. Приемно-комплексная система
10. VI. Разработка теории систем и теории компромиссов
11. VI. Разработка теории систем и теории компромиссов
12. XVI. Основные правовые системы современности.