Динамические процессы в системах

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 11Следующая ⇒

Основным математическим аппаратом для исследования систем являются дифференциальные уравнения. Различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени. Большинство объектов являются нестационарными, но скорость изменения их свойств намного меньше скорости управления, поэтому такие объекты можно рассматривать как стационарные.

Линейный объект с сосредоточенными координатами описывает дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n₋₁y^(n–1)(t)+…+a₁y¢ (t)+a₀y(t)=b_mx^(m)(t)+b_m₋₁x^(m–1)(t)+…+b₁x¢ (t)+b₀x(t). (5.3)

Уравнение (5.3) описывает поведение объекта на неустановившемся режиме при любой форме входного сигнала x(t). Частными случаями уравнения (5.3) являются уравнения

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n₋₁y⁽ⁿ^–¹⁾(t)+…+a₁y¢ (t)+a₀y(t)=b_mx⁽^m⁾(t)+b_m₋₁x⁽^m^–¹⁾(t)+…+b₁x¢ (t), (5.3а)

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n_{− 1}y⁽ⁿ^–¹⁾(t)+…+a₁y¢ (t)=b_mx^(m)(t)+b_m_{− 1}x^(m^–¹⁾(t)+…+b₁x¢ (t)+b₀x(t). (5.3б)

Объекты, описываемые уравнением (5.3а), имеют вырожденную статическую характеристику, так как b₀ = 0. Объекты, описываемые уравнением (5.3б), не имеют статической характеристики.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называют статическими, а не имеющие статической характеристики – астатическими.

Часто уравнения систем автоматического управления являются нелинейными, поэтому проводят их линеаризацию и получают уравнение (5.3) в виде уравнения в отклонениях, которое описывает объект в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнение в отклонениях и исходное уравнение совпадают.

Для решения уравнения (5.3) необходимо задать начальные условия или состояние процесса в момент времени, принятый за его начало t = 0

. (5.4)

Общее решение уравнения (5.3) представляется в виде:

y(t) = y_св(t) + y_вын(t). (5.5)

В (5.5) y_св(t) является общим решением однородного уравнения, соответствуя движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) ≡ 0, и определяется свойствами самой системы; y_вын(t) – частное решение уравнения (5.3), зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению системы.

Переходная функция

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используют единичную функцию времени 1(t) (4.1).

Переходной функцией h(t) называют аналитическое выражение для решения уравнения (5.3) при x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n_{− 1}y⁽ⁿ^–¹⁾(t)+…+a₁y¢ (t)+a₀y(t)= b₀× 1(t); y(0)=0, y¢ (0)=0, …, y^(n-1)(0)=0.

Кривой разгона называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Рис. 5.4 Переходная характеристика: а) ступенчатое воздействие; б) кривая разгона

На практике кривую разгона определяют экспериментально, используя данные для анализа и синтеза систем автоматического управления.

Весовая функция

Для получения весовой (импульсной переходной) функции в качестве стандартного сигнала используют δ -функция (4.2) (рис. 5.5).

Весовой функцией w(t) называют аналитическое выражение для решения уравнения (5.3) при x(t) = d (t) и нулевых начальных условиях

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n_{− 1}y⁽ⁿ^–¹⁾(t)+…+a₁y¢ (t)+a₀y(t)= b₀× d(t); y(0)=0, y¢ (0)=0, …, y^(n-1)(0)=0.

Рис. 5.5. Переходная характеристика: а) δ -функция; б) весовая функция

Считают, что на вход объекта подана δ -функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса, при этом переходный процесс нормируют путем деления его ординат на S.

Между переходной и весовой функциями существует соответствие

; w(t) = h¢ (t).

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля используют для определения выхода объекта у(t) при произвольном входном сигнале x(t) и известных h(t) либо w(t). На вход объекта, описываемого функцией w(t), подают сигнал x(t) (4.10).

Если реакцию объекта на δ (t – t_i) обозначить через w(t – t_i)(весовая функция), а реакцию на – через (приближенная весовая функция), то выходной сигнал .

Рис. 5.6. Представление входного (а) и выходного сигналов (б)

Замена входного сигнала x(t) набором импульсов, высота которых совпадает с координатами x(t_i) (рис. 5.6а), позволяет записать реакцию на входное воздействие х(t) на основании принципа суперпозиции (рис. 5.6б)

Если Dt_i ® 0, при этом t_i ® t; n ® ¥; ; Dt_i ® dt; , где τ – параметр сдвига каждого импульса

. (5.6)

Это уравнение называют интегралом Дюамеля (уравнением свертки). Весовая функция показывает, как влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени τ = 0.

Интеграл Дюамеля можно записать через переходную функцию

или . (5.7)

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒