ПЕРЕДАТОЧНЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ФУНКЦИИ

Передаточная функция

Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается

. (6.3)

Передаточная функция характеризует динамику объекта по каналу, связывающему конкретный вход и выход объекта (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Примеры различных объектов: а) с одним входом и одним выходом;

б) двумя входами и одним выходом; в) двумя входами и двумя выходами

Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями.

Передаточная функция характеризует динамику линейного объекта. Если задано дифференциальное уравнение, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из алгебраического уравнения найти отношение .

Дифференциальное уравнение объекта представляется в виде (5.3)

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_{n− 1}y^(n–1)(t)+…+a₁y¢ (t)+a₀y(t)=b_mx^(m)(t)+b_{m− 1}x^(m–1)(t)+…+b₁x¢ (t)+b₀x(t).

где a_n, …, a₀; b_m, …, b₀ – постоянные коэффициенты.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях

a_nsⁿy(s)+a_{n− 1}s^n–1y(s)+...+a₀y(s)=b_ms^mx(s)+b_{m− 1}s^m–1x(s)+...+b₀x(s),

(a_nsⁿ+a_{n− 1}s^n–1+...+a₁s+a₀)y(s)=(b_ms^m+b_{m− 1}s^m–1+...+b₁s+b₀)x(s), (6.4)

. (6.5)

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у(s)= W(s)x(s).

Передаточная функция является отношением полиномов

,

где B(s)=b_ms^m+b_{m− lS}^m–l+...+b₁s+b₀; A(s)=a_nsⁿ+a_{n− lS}^n–l+…+a₁s+a₀y.

Для реальных физических объектов степень полинома В(s)всегда меньше или равна степени полинома A(s), то есть m ≤ n.

Для переходной функции входной сигнал x(t) = 1(t), , выходной сигнал y(t) = h(t), y(s) = h(s), и тогда передаточная функция равна

. (6.6)

Из (6.6) может быть получено выражение для переходной функции

. (6.7)

Если известно выражение для весовой функции, то входной сигнал x(t) = δ (t), x(s) = 1, выходной сигнал w(t) и передаточная функция

, (6.8)

является преобразованием Лапласа от весовой функции.

Из (6.6) и (6.8) w(s) = s× h(s), то есть w(t) = h¢ (t).

Элементы теории функций комплексного переменного

Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z=a+ib, где а и b – действительная и мнимая части числа. Такая форма записи называется алгебраической. На комплексной плоскости в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть) комплексное число геометрически представляют вектором, оно также может быть изображено в полярных координатах z=Me^ij, где М (модуль) – длина вектора z и j (фаза) – угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z.

Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как e^±ij = cosj ± isinj, z = Mcosj ± iMsinj.

Cоставляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями ; a=Mcosj; b=Msinj.

При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z (рис. 6.3).

Рис. 6.3 Определение фазы в зависимости от расположения

I квадрант: ;

II квадрант: ;

III квадрант: ;

IV квадрант: .

При этом 1 = eⁱ⁰; –1 = e^ip; i = e^ip/2; –i = e^–ip/2.

Над комплексными числами проводят те же алгебраические операции, что и над действительными. Сложение и вычитание удобнее проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

z₃ = z₁ ± z₂ = (a₁ ±ib₁) ± (a₂ ± ib₂) = (a₁ ± a₂) ± i(b₁ ± b₂),

а умножение и деление над числами показательной форме

; .

Если аргумент функции – комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Функцией комплексного переменного называется некоторый оператор (правило), согласно которому точке одной плоскости комплексного переменного ставится в соответствие точка другой плоскости комплексного переменного.

Частотные характеристики

Частотные характеристики линейных систем характеризуют реакцию объекта на гармонический сигнал. Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). Рассмотрим преобразования Лапласа и Фурье .

При сравнении преобразований видно, что формально преобразование Фурье может быть получено из преобразования Лапласа простой заменой s на iω. Заменяя в уравнении (6.4) s на iω, получим

(a_n(iw)ⁿ+a_{n− 1}(iw)^n–1+...+a₁(iw)+a₀)y(iw)=(b_m(iw)^m+b_{m− 1}(iw)^m–1+...+b₁(iw)+b₀)x(iw),

, (6.9)

.

Тогда амплитудно-частотная характеристика M(w) является четной функцией; фазочастотная характеристика j(w) – нечетной функцией; вещественная частотная характеристика Re(ω ) – четной функцией; мнимая частотная характеристика Im(ω ) – нечетной функцией (рис. 6.4 и 6.5).

Рис. 6.4 Свойство четности частотных характеристик: а) АЧХ; б) ВЧХ

Рис. 6.5 Свойство нечетности частотных характеристик: а) ФЧХ; б) МЧХ

Амплитудно-фазовая характеристика также может рассматриваться как изображение Фурье от весовой функции

. (6.10)

Так как e^–iwt = coswt – isinwt, то из (6.10) определим вещественную и мнимую характеристики и, следовательно,

, . (6.11)

Откуда следует, что Re(ω ) = Re(− ω ), Im(ω ) = − Im(− ω ).

При практических расчетах АФХ строят только для положительных частот. Используя формулу обратного преобразования Фурье, можно по АФХ получить весовую характеристику

. (6.12)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
3. III. Вегетативные функции НС.
4. Xlabel('Значения x'); ylabel('Значения функции'), grid
5. Анализ структуры и выполняемые функции информационной подсистемы «Кадры» ОГУ
6. Асимптоты графика функции и их отыскание
7. Билет 5 Основные черты, функции и Юридические свойства Конституции
8. Биологические функции пептидов и белков
9. Блок 20. Функции администратора зала и администратора кассы
10. Бухгалтерский учет: его задачи, функции и
11. В том, что любой живой организм состоит из клеток, но клетки выполняют разные функции.
12. Виды, функции и стадии правотворчества