Пропорционально-дифференциальный закон регулирования

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 11Следующая ⇒

x_р(t) = –[S₁Dy(t) + S₂Dy¢ (t)]. (11.1)

Этот регулятор состоит из пропорциональной и дифференцирующей составляющих. Динамические характеристики ПД-регулятора:

передаточная функция W(s) = –(S₁ + S₂s); (11.2)

частотные характеристики (рис. 11.1):

АФХ ; (11.3)

АЧХ ; (11.4)

ФЧХ j(w) = arctg(S₂w/S₁) + p. (11.5)

Рис. 11.1 Частотные характеристики ПД-регулятора: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Переходная функция (рис. 11.2) h(t) = S_l× 1(t) – S₂d(t). (11.6)

Весовая функция w(t) = − S₁δ (t) − S₂δ ¢ (t). (11.7)

Пропорционально-дифференциальный регулятор обладает особенностями обоих законов регулирования (рис. 11.2). Наличие воздействия по производной от ∆ y¢ (t) увеличивает быстродействие регулятора, благодаря чему уменьшается динамическая ошибка по сравнению с пропорциональным регулятором.

Рис. 11.2. Переходный процесс в САР с ПД-регулятором

В установившихся режимах, когда ∆ y¢ = 0, регулятор ведет себя как обычный П-регулятор. Величина статической ошибки остается такой же, как и в случае применения П-регулятора

Пропорционально-интегральный закон регулирования

Пропорционально-интегральный закон регулирования

. (11.8)

Динамические характеристики ПИ-регулятора:

передаточная функция ; (11.9)

частотные характеристики (рис. 11.3):

АФХ ; (11.10)

АЧХ ; (11.11)

ФЧХ . (11.12)

Рис. 11.3. Частотные характеристики ПИ-регулятора: а) АЧХ; б) ФЧХ; в)АФХ

Переходная функция (рис. 11.4а): h(t) = –(S₁× 1(t) + S₀t). (11.13)

Весовая функция (рис. 11.4б): w(t) = –(S₁× d(t) + S₀). (11.14)

Рис. 11.4 Переходные характеристики: а) переходная функция; б) весовая функция

ПИ-регулятор сочетает в себе достоинства П- и И-законов регулирования – пропорциональная составляющая обеспечивает быстродействие регулятора, а интегральная составляющая устраняет статическую ошибку регулирования. Переходный процесс изображен на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Переходный процесс в САР с ПИ-, П- и И-регуляторами

В начале процесса регулирования основную роль играет пропорциональная составляющая, так как интегральная составляющая зависит от времени. С увеличением времени возрастает роль интегральной составляющей, обеспечивающей устранение статической ошибки

Пропорционально-интегрально-дифференциальный

Закон регулирования

ПИД-закон регулирования описывается уравнением

. (11.15)

Динамические характеристики ПИД-регулятора:

передаточная функция ; (11.16)

частотные характеристики (рис. 11.6):

АФХ ; (11.17)

АЧХ ; (11.18)

ФЧХ . (11.19)

Рис. 11.6. Частотные характеристики ПИД-регулятора: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Переходные характеристики (рис. 11.7):

переходная функция h(t) = –(S₁ + S₀t + S₂× d(t)); (11.20)

весовая функция w(t) = –(S₁× d(t) + S₀ + S₂× d¢ (t)). (11.21)

Рис. 11.7 Переходная функция ПИД-регулятора

ПИД-регулятор сочетает в себе достоинства всех трех простейших законов регулирования: высокое быстродействие и отсутствие статической ошибки, которое обеспечивает интегральная составляющая (рис. 11.8).

Рис. 11.8. Переходные процессы в САР с различными законами регулирования

Применение регуляторов с дифференциальными составляющими нецелесообразно для систем с запаздыванием или нелинейных систем.

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Система автоматического управления должна устойчиво функционировать при действии на нее случайных помех, шумов или возмущений. Очень важным является понятие об устойчивости заданного режима работы системы, под которым понимают состояние равновесия.

Устойчивость

Устойчивость систем связана со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних возмущений, которые вывели ее из этого состояния. С позиции устойчивости различают три типа систем:

1) устойчивые − системы, которые после снятия возмущений возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные − системы, которые после снятия возмущения возвращаются в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые − системы, в которых не устанавливается равновесие после снятия возмущений.

Данные системы представлены на рис. 12.1. Положение равновесия шара характеризуется точкой A₀. При отклонении в положение A₁ в первом случае шар стремится к положению А₀ во втором не стремится к этому положению, в третьем − состояние шара безразлично.

Примером устойчивых систем могут служить все типовые звенья, кроме интегрирующего звена.

Рис. 12.1 Иллюстрация понятия устойчивости:

а) устойчивая система; б) неустойчивая система; в) нейтральная система

На рис. 12.1а границы области устойчивости не определены. Рассмотрим полуустойчивые системы с заданными границами (рис. 12.2).

Рис. 12.2. Полуустойчивые состояния равновесия

Состояние равновесия (рис. 12.2а)устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу, определяемую точкой B. Принципиально возможное состояние равновесия, называемое полуустойчивым (рис. 12.2б), характерно для нелинейных систем.

Для нелинейных систем вводят понятия устойчивости «в малом», «в большом» и «в целом»:

− система устойчива «в малом», если лишь констатируется факт наличия области устойчивости, но границы ее не определены;

− система устойчива «в большом», когда определены границы области устойчивости, то есть определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние;

− система, которая возвращается в исходное состояние при любых начальных отклонениях, называется устойчивой «в целом» или абсолютно устойчивой.

Случай, изображенный на рис. 12.1а, соответствует устойчивости «в целом», на рис. 12.2а – «в большом» или «в малом». Часто не всегда ясно, при каких условиях равновесное состояние системы будет устойчиво.

Регулируемая величина y(t) является решением уравнения (5.3):

y(t) = y_св(t) + y_вын(t). (12.1)

При рассмотрении вопросов устойчивости интерес вызывает свободная составляющая, определяемая решением уравнения (5.3) без правой части. Это решение отлично от нуля только в течение переходного процесса. Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (5.3), на устойчивость системы не влияет.

Математически понятие «устойчивость» формулируется следующим образом. Система является устойчивой, если свободная составляющая переходного процесса с течением времени стремится к нулю, то есть

y_св(t) ® 0 при t ® ¥. (12.2)

При этом выходная координата системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения (5.3). Если свободная составляющая неограниченно возрастает, то есть y_св(t) ® ¥ при t ® ¥, то система неустойчива.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒