МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Преобразование Лапласа

Основным математическим аппаратом, который используют в теории автоматического управления, является операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

Прямым преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s)другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением

, (3.1)

где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = α + iω.

Обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал, определяется соотношением

(3.2)

где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

Преобразование Лапласа обладает разнообразными свойствами.

1 Свойство линейности: для любых действительных или комплексных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений

Ax₁(t) + Bx₂(t) ® Ax₁(s) + Bx₂(s), (3.3)

где x₁(t) ® x₁(s); x₂(t) ® x₂(s).

2. Свойство подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число λ приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число λ:

(3.4)

3. Свойство затухания: умножение оригинала на функцию e^at, где а — любое действительное или комплексное число, влечет за собой смещение независимой переменной s:

e^atx(t) ® x(s – a). (3.5)

4. Свойство запаздывания: для любого постоянного τ > 0

x(t – t) ® e^-^stx(s). (3.6)

5. Свойство дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение х(s, r), то

. (3.7)

6. Свойство дифференцирования оригинала: если x(t) ® x(s), то

x¢ (t) ® sx(s) – x(0), (3.8)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х(0), если х(0) = 0, то x¢ (t) ® sx(t). Применяя преобразование необходимое количество раз, получают

x⁽ⁿ⁾(t) ® s⁽ⁿ⁾x(s) – s⁽ⁿ^-1)x(0) – … – x(0). (3.9)

Если x(0) = sx(0) = … = s⁽ⁿ^-1)x(0), то

x⁽ⁿ⁾(t) ® s⁽ⁿ⁾x(s), (3.10)

т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sⁿ его изображения.

7. Свойство интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:

. (3.11)

8. Свойство дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (− t):

− tx(t) ® x¢ (s). (3.12)

9. Свойство интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до ∞ соответствует деление оригинала на t, т.е. если интеграл сходится, то

. (3.13)

10. Свойство умножения изображения: если x(t) ® x(s), y(t) ® y(s), то свертке функций

(3.14)

соответствует произведение изображений

x(t)*y(t) ® x(s)y(s). (3.15)

11. Свойство умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений

, (3.16)

где γ = Re z.

12. Свойства предельных значений:

; (3.17)

. (3.18)

Преобразование Фурье

Прямым преобразованием Фурье называется оператор

, (3.19)

обратным преобразованием Фурье

. (3.20)

Преобразование Фурье ставит во взаимное соответствие два множества функций (f(t) ↔ F(iω )): первое множество f(t) – функции действительного аргумента t; второе множество F(iω ) – функции мнимого аргумента iω. Прямое преобразование Фурье (3.19) позволяет по заданному оригиналу f(t) найти его изображение F(iω ), обратное преобразование (3.20) позволяет по заданному изображению F(iω )найти оригинал F(t). Преобразование Фурье используют для построения спектров сигналов.

Основными свойствами преобразования Фурье являются:

1. Свойство линейности:

если , то , (3.21)

где f(t), f₁(t), ..., f_n(t) – функции; F(iω ), F₁(iω ), ..., F_n(iω ) – изображения соответствующих функций.

2. Свойство запаздывания:

если f(t) ® F(iω ), то f(t− τ ) ® e⁻ⁱ^{ω τ}F(iω ). (3.22)

3. Свойство смещения спектра:

если f(t) ® F(iω ), то . (3.23)

4. Свойство различного характера функции f(t):

если функция f(t) четная, то ее изображение является вещественной функцией, четной относительно ω и определяется как

. (3.24)

если функция f(t) нечетная, то ее изображение является чисто мнимой функцией, нечетной относительно ω:

. (3.25)

Существует значительное количество свойств преобразования Фурье, но именно приведенные выше (3.21) - (3.25) используются при исследовании регулярных сигналов.

СИГНАЛЫ И СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ

Представление сигналов

Наибольшее распространение получило математическое представление сигналов, виды представлений сигналов делятся на три группы:

1) непрерывное представление – сигнал определен в любой момент времени (рис. 4.1а);

2) дискретно-непрерывное представление – сигнал является квантованным по времени и непрерывно изменяется только по уровню (рис. 4.1б);

3) дискретное представление – выходной сигнал квантован как по времени, так и по уровню (рис.4.1в).

Рис. 4.1 Виды математических представлений сигналов:

а)непрерывное; б)дискретно-непрерывное; в)дискретное

В результате квантования сигнала по времени при дискретно-непре-рывном и дискретном представлениях может произойти потеря информации. Для ее уменьшения необходимо выполнять теорему Котельникова.

Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что, если требуется передавать сигнал, описываемый функцией f(t) с ограниченным спектром, то достаточно передавать отдельные мгновенные значения, отсчитанные через конечный промежуток времени , где F_C – ширина спектра. По этим значениям непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен на выходе системы.

Виды сигналов

В теории автоматического управления используются сигналы:

1. Единичный скачок 1(t), называемый функцией Хевисайда (рис. 4.2).

(4.1)

Функция Хевисайда физически нереализуема, возможно лишь определенное приближение к этой функции.

2. Единичная импульсная функция – дельта-функция d(t) (рис. 4.3), называемая функцией Дирака, – это функция, удовлетворяющая условиям:

1) 2) (4.2)

d(t) можно представить как импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды с площадью, равной единице (рис. 4.4).

Рис. 4.2. 1(t) Рис. 4.3. d(t) Рис. 4.4. Площадь d(t)

К основным свойствам δ -функции можно отнести следующие:

1) ; 2) δ (t) = δ (–t); 3) . (4.3)

Между функцией Дирака и функцией Хевисайда существует связь:

d[t] = 1¢ (t) или . (4.4)

На практике считается, что на вход объекта подана δ -функция, если время действия прямоугольного импульса намного меньше времени переходного процесса.

3 Синусоидальный гармонический сигнал (рис. 4.5а)

x(t) = A·sinwt (4.5)

используют при исследовании систем автоматического регулирования частотными методами. Его можно представить как вращение вектора длиной А вокруг начала координат (рис. 4.5б) с угловой скоростью ω, рад/с.

Сигнал характеризуется амплитудой – А; периодом – Т; фазой – j.

Рис. 4.5. Гармонический сигнал: a - обычный сигнал;

б - представление гармонического сигнала вращением вектора;

в - гармонический сигнал со сдвигом фазы

Между периодом и угловой скоростью справедливы соотношения

; . (4.6)

Если сигнал начинается не с момента времени t = 0, то он характеризуются фазой j (рис. 4.5б), которая во временной области соответствует отрезку ∆ t (рис. 4.5в).Перевод осуществляется по формуле

. (4.7)

4. Сдвинутые элементарные функции

К этим функциям относятся функции Хевисайда и Дирака с запаздыванием 1(t – τ ) и δ (t – τ ) (рис. 4.6)

(4.8)

Рис. 4.6. Сдвинутые элементарные функции

К основным свойствам сдвинутых функций можно отнести:

1) ; 2) δ (t–t) = δ (t–t) = δ (–(t–t)); 3) . (4.9)

5. Сигнал произвольной формы (рис. 4.7а).

Сигнал произвольной формы представляют с помощью δ -функции (рис. 4.7б), для чего в момент времени t_i, строят столбик высотой x(t_i) и основанием Dt_i. Этот импульс выражают через приближенную d-функцию площадью, равной 1, шириной Dt_i и высотой 1/Dt_i. Тогда высота столбика . Заменяя функцию x(t) набором импульсов (рис. 4.7в), можно записать . Если n ® 0, Dt_i ® t, , то

. (4.10)

Рис. 4.7. Сигнал произвольной формы:

а) входной непрерывный сигнал; б) импульс x(i);

в) суперпозиция импульсов, определяющих сигнал x(t)

Сигнал произвольной формы можно представить через единичные функции, для чего выражение (4.10) следует проинтегрировать по частям, используя подстановку δ (t − τ ) = 1¢ (t − τ ), тогда

. (4.11)

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒